Theorem nfsup 8357

Description: Hypothesis builder for supremum. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
nfsup.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
nfsup.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐵
nfsup.3	⊢ Ⅎ𝑥𝑅

Assertion

Ref	Expression
nfsup	⊢ Ⅎ𝑥sup(𝐴, 𝐵, 𝑅)

Proof of Theorem nfsup

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsup2 8350	. 2 ⊢ sup(𝐴, 𝐵, 𝑅) = ∪ (𝐵 ∖ ((◡𝑅 “ 𝐴) ∪ (𝑅 “ (𝐵 ∖ (◡𝑅 “ 𝐴)))))
2		nfsup.2	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
3		nfsup.3	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑅
4	3	nfcnv 5301	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥◡𝑅
5		nfsup.1	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
6	4, 5	nfima 5474	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(◡𝑅 “ 𝐴)
7	2, 6	nfdif 3731	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐵 ∖ (◡𝑅 “ 𝐴))
8	3, 7	nfima 5474	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑅 “ (𝐵 ∖ (◡𝑅 “ 𝐴)))
9	6, 8	nfun 3769	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥((◡𝑅 “ 𝐴) ∪ (𝑅 “ (𝐵 ∖ (◡𝑅 “ 𝐴))))
10	2, 9	nfdif 3731	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐵 ∖ ((◡𝑅 “ 𝐴) ∪ (𝑅 “ (𝐵 ∖ (◡𝑅 “ 𝐴)))))
11	10	nfuni 4442	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥∪ (𝐵 ∖ ((◡𝑅 “ 𝐴) ∪ (𝑅 “ (𝐵 ∖ (◡𝑅 “ 𝐴)))))
12	1, 11	nfcxfr 2762	1 ⊢ Ⅎ𝑥sup(𝐴, 𝐵, 𝑅)

Syntax hints:  Ⅎwnfc 2751   ∖ cdif 3571   ∪ cun 3572  ∪ cuni 4436  ^◡ccnv 5113   “ cima 5117  supcsup 8346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-sup 8348

This theorem is referenced by:  nfinf  8388  itg2cnlem1  23528  esum2d  30155  nfwlim  31768  totbndbnd  33588  aomclem8  37631  binomcxplemdvbinom  38552  binomcxplemdvsum  38554  binomcxplemnotnn0  38555  ssfiunibd  39523  uzub  39658  limsupubuz  39945  fourierdlem20  40344  fourierdlem31  40355  fourierdlem79  40402  sge0ltfirp  40617  pimdecfgtioc  40925  decsmflem  40974  smfsup  41020  smfsupxr  41022  smflimsup  41034