Theorem ssfiunibd 39523

Description: A finite union of bounded sets is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ssfiunibd.fi	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
ssfiunibd.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
ssfiunibd.bd	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦)
ssfiunibd.ssun	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ ∪ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
ssfiunibd	⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝐵 ≤ 𝑤)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑤,𝐴,𝑥,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦   𝑤,𝐵   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑧)   𝐶(𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem ssfiunibd

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssfiunibd.fi	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		simpll 790	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝜑)
3		19.8a 2052	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑥(𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
4	3	ancoms 469	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → ∃𝑥(𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
5		eluni 4439	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ∪ 𝐴 ↔ ∃𝑥(𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
6	4, 5	sylibr 224	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ ∪ 𝐴)
7	6	adantll 750	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ ∪ 𝐴)
8		ssfiunibd.b	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
9	2, 7, 8	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
10		ssfiunibd.bd	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦)
11		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) = if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
12	9, 10, 11	upbdrech2 39522	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))))
13	12	simpld 475	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ)
14	13	ralrimiva 2966	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ)
15		fimaxre3 10970	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤)
16	1, 14, 15	syl2anc 693	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤)
17		nfv 1843	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑧(𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)
18		nfcv 2764	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧𝐴
19		nfv 1843	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑥 = ∅
20		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧0
21		nfre1 3005	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑧∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵
22	21	nfab 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑧{𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}
23		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑧ℝ
24		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑧 <
25	22, 23, 24	nfsup 8357	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )
26	19, 20, 25	nfif 4115	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
27		nfcv 2764	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧 ≤
28		nfcv 2764	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧𝑤
29	26, 27, 28	nfbr 4699	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤
30	18, 29	nfral 2945	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑧∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤
31	17, 30	nfan 1828	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑧((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤)
32		ssfiunibd.ssun	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ ∪ 𝐴)
33	32	sselda 3603	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝑧 ∈ ∪ 𝐴)
34	33, 5	sylib 208	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → ∃𝑥(𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
35		exancom 1787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑥(𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥))
36	34, 35	sylib 208	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥))
37		df-rex 2918	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥))
38	36, 37	sylibr 224	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑥)
39	38	ad4ant14 1293	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑥)
40		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)
41		nfra1 2941	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤
42	40, 41	nfan 1828	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤)
43		nfv 1843	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑧 ∈ 𝐶
44	42, 43	nfan 1828	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)
45		nfv 1843	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐵 ≤ 𝑤
46	9	3impa 1259	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
47	46	3adant1r 1319	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
48	47	3adant1r 1319	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
49		n0i 3920	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 = ∅)
50	49	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → ¬ 𝑥 = ∅)
51	50	iffalsed 4097	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) = sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
52	51	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) = if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )))
53	52	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) = if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )))
54	13	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ)
55	53, 54	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
56	55	3adant1r 1319	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
57	56	3adant1r 1319	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
58		simp1lr 1125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝑤 ∈ ℝ)
59		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑢(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)
60		nfab1 2766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑢{𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}
61		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑢ℝ
62		abid 2610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵} ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵)
63	62	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵} → ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵)
64	63	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}) → ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵)
65		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑧(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)
66	21	nfsab 2614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}
67	65, 66	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑧((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵})
68		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑢 ∈ ℝ
69		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑢 = 𝐵) → 𝑢 = 𝐵)
70	9	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑢 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
71	69, 70	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑢 = 𝐵) → 𝑢 ∈ ℝ)
72	71	3exp 1264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ 𝑥 → (𝑢 = 𝐵 → 𝑢 ∈ ℝ)))
73	72	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}) → (𝑧 ∈ 𝑥 → (𝑢 = 𝐵 → 𝑢 ∈ ℝ)))
74	67, 68, 73	rexlimd 3026	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}) → (∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵 → 𝑢 ∈ ℝ))
75	64, 74	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}) → 𝑢 ∈ ℝ)
76	75	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵} → 𝑢 ∈ ℝ))
77	59, 60, 61, 76	ssrd 3608	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵} ⊆ ℝ)
78	77	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵} ⊆ ℝ)
79		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥)
80		elabrexg 39206	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵})
81	79, 46, 80	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝐵 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵})
82		ne0i 3921	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵} → {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵} ≠ ∅)
83	81, 82	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵} ≠ ∅)
84		abid 2610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑣 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑣 = 𝐵} ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑣 = 𝐵)
85	84	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑣 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑣 = 𝐵} → ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑣 = 𝐵)
86		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑢 = 𝑣 → (𝑢 = 𝐵 ↔ 𝑣 = 𝐵))
87	86	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑢 = 𝑣 → (∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑣 = 𝐵))
88	87	cbvabv 2747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵} = {𝑣 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑣 = 𝐵}
89	85, 88	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵} → ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑣 = 𝐵)
90	89	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦) ∧ 𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}) → ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑣 = 𝐵)
91		nfra1 2941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑧∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦
92	65, 91	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑧((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦)
93	21	nfsab 2614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}
94	92, 93	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑧(((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦) ∧ 𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵})
95		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑣 ≤ 𝑦
96		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑣 = 𝐵) → 𝑣 = 𝐵)
97		rspa 2930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝐵 ≤ 𝑦)
98	97	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑣 = 𝐵) → 𝐵 ≤ 𝑦)
99	96, 98	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑣 = 𝐵) → 𝑣 ≤ 𝑦)
100	99	3exp 1264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦 → (𝑧 ∈ 𝑥 → (𝑣 = 𝐵 → 𝑣 ≤ 𝑦)))
101	100	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦) → (𝑧 ∈ 𝑥 → (𝑣 = 𝐵 → 𝑣 ≤ 𝑦)))
102	101	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦) ∧ 𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}) → (𝑧 ∈ 𝑥 → (𝑣 = 𝐵 → 𝑣 ≤ 𝑦)))
103	94, 95, 102	rexlimd 3026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦) ∧ 𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}) → (∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑣 = 𝐵 → 𝑣 ≤ 𝑦))
104	90, 103	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦) ∧ 𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}) → 𝑣 ≤ 𝑦)
105	104	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦) → ∀𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}𝑣 ≤ 𝑦)
106	105	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦 → ∀𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}𝑣 ≤ 𝑦))
107	106	reximdv 3016	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}𝑣 ≤ 𝑦))
108	10, 107	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}𝑣 ≤ 𝑦)
109	108	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}𝑣 ≤ 𝑦)
110		suprub 10984	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵} ⊆ ℝ ∧ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵} ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}𝑣 ≤ 𝑦) ∧ 𝐵 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}) → 𝐵 ≤ sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
111	78, 83, 109, 81, 110	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝐵 ≤ sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
112	111	3adant1r 1319	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝐵 ≤ sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
113	112	3adant1r 1319	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝐵 ≤ sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
114	52	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) = if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )))
115		rspa 2930	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤)
116	115	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤)
117	114, 116	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) ≤ 𝑤)
118	117	3adant1l 1318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) ≤ 𝑤)
119	48, 57, 58, 113, 118	letrd 10194	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝐵 ≤ 𝑤)
120	119	3exp 1264	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑤)))
121	120	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑤)))
122	44, 45, 121	rexlimd 3026	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑤))
123	39, 122	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝐵 ≤ 𝑤)
124	123	ex 450	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) → (𝑧 ∈ 𝐶 → 𝐵 ≤ 𝑤))
125	31, 124	ralrimi 2957	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) → ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝐵 ≤ 𝑤)
126	125	ex 450	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤 → ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝐵 ≤ 𝑤))
127	126	reximdva 3017	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝐵 ≤ 𝑤))
128	16, 127	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝐵 ≤ 𝑤)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483  ∃wex 1704   ∈ wcel 1990  {cab 2608   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∃wrex 2913   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  ifcif 4086  ∪ cuni 4436   class class class wbr 4653  Fincfn 7955  supcsup 8346  ℝcr 9935  0cc0 9936   < clt 10074   ≤ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269

This theorem is referenced by:  fourierdlem70  40393  fourierdlem71  40394  fourierdlem80  40403