Theorem pol1N 35196

Description: The polarity of the whole projective subspace is the empty space. Remark in [Holland95] p. 223. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
polssat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
polssat.p	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pol1N	⊢ (𝐾 ∈ HL → ( ⊥ ‘𝐴) = ∅)

Proof of Theorem pol1N

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3624	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐴
2		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
3		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
4		polssat.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
6		polssat.p	. . . 4 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
7	2, 3, 4, 5, 6	polval2N 35192	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐴 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝐴) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝐴))))
8	1, 7	mpan2 707	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ( ⊥ ‘𝐴) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝐴))))
9		hlop 34649	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
10		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
11	10, 4	atbase 34576	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
12		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
13		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
14	10, 12, 13	ople1 34478	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑝(le‘𝐾)(1.‘𝐾))
15	9, 11, 14	syl2an 494	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑝(le‘𝐾)(1.‘𝐾))
16	15	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∀𝑝 ∈ 𝐴 𝑝(le‘𝐾)(1.‘𝐾))
17		rabid2 3118	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝(le‘𝐾)(1.‘𝐾)} ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐴 𝑝(le‘𝐾)(1.‘𝐾))
18	16, 17	sylibr 224	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐴 = {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝(le‘𝐾)(1.‘𝐾)})
19	18	fveq2d 6195	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((lub‘𝐾)‘𝐴) = ((lub‘𝐾)‘{𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝(le‘𝐾)(1.‘𝐾)}))
20		hlomcmat 34651	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat))
21	10, 13	op1cl 34472	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
22	9, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
23	10, 12, 2, 4	atlatmstc 34606	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘{𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝(le‘𝐾)(1.‘𝐾)}) = (1.‘𝐾))
24	20, 22, 23	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((lub‘𝐾)‘{𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝(le‘𝐾)(1.‘𝐾)}) = (1.‘𝐾))
25	19, 24	eqtr2d 2657	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (1.‘𝐾) = ((lub‘𝐾)‘𝐴))
26	25	fveq2d 6195	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((oc‘𝐾)‘(1.‘𝐾)) = ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝐴)))
27		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
28	27, 13, 3	opoc1 34489	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ((oc‘𝐾)‘(1.‘𝐾)) = (0.‘𝐾))
29	9, 28	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((oc‘𝐾)‘(1.‘𝐾)) = (0.‘𝐾))
30	26, 29	eqtr3d 2658	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝐴)) = (0.‘𝐾))
31	30	fveq2d 6195	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝐴))) = ((pmap‘𝐾)‘(0.‘𝐾)))
32		hlatl 34647	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
33	27, 5	pmap0 35051	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → ((pmap‘𝐾)‘(0.‘𝐾)) = ∅)
34	32, 33	syl 17	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((pmap‘𝐾)‘(0.‘𝐾)) = ∅)
35	8, 31, 34	3eqtrd 2660	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ( ⊥ ‘𝐴) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  {crab 2916   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  Basecbs 15857  lecple 15948  occoc 15949  lubclub 16942  0.cp0 17037  1.cp1 17038  CLatccla 17107  OPcops 34459  OMLcoml 34462  Atomscatm 34550  AtLatcal 34551  HLchlt 34637  pmapcpmap 34783  ⊥_𝑃cpolN 35188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-riotaBAD 34239

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-undef 7399  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-p1 17040  df-lat 17046  df-clat 17108  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-pmap 34790  df-polarityN 35189

This theorem is referenced by:  2pol0N  35197  1psubclN  35230