Theorem hlatl 34647

Description: A Hilbert lattice is atomic. (Contributed by NM, 20-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
hlatl	⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)

Proof of Theorem hlatl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlcvl 34646	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CvLat)
2		cvlatl 34612	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ CvLat → 𝐾 ∈ AtLat)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1990  AtLatcal 34551  CvLatclc 34552  HLchlt 34637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-iota 5851  df-fv 5896  df-ov 6653  df-cvlat 34609  df-hlat 34638

This theorem is referenced by:  hllat  34650  hlomcmat  34651  intnatN  34693  cvratlem  34707  atcvrj0  34714  atcvrneN  34716  atcvrj1  34717  atcvrj2b  34718  atltcvr  34721  cvrat4  34729  2atjm  34731  atbtwn  34732  3dim2  34754  2dim  34756  1cvrjat  34761  ps-2  34764  ps-2b  34768  islln3  34796  llnnleat  34799  llnexatN  34807  2llnmat  34810  2atm  34813  2llnm3N  34855  2llnm4  34856  2llnmeqat  34857  dalem21  34980  dalem24  34983  dalem25  34984  dalem54  35012  dalem55  35013  dalem57  35015  pmapat  35049  pmapeq0  35052  isline4N  35063  2lnat  35070  2llnma1b  35072  cdlema2N  35078  cdlemblem  35079  pmapjat1  35139  llnexchb2lem  35154  pol1N  35196  pnonsingN  35219  pclfinclN  35236  lhpocnle  35302  lhpmat  35316  lhpmatb  35317  lhp2at0  35318  lhp2atnle  35319  lhp2at0nle  35321  lhpat3  35332  4atexlemcnd  35358  ltrnmwOLD  35438  trlatn0  35459  ltrnnidn  35461  trlnidatb  35464  trlnle  35473  trlval3  35474  trlval4  35475  cdlemc5  35482  cdleme0e  35504  cdleme3  35524  cdleme7c  35532  cdleme7ga  35535  cdleme7  35536  cdleme11k  35555  cdleme15b  35562  cdleme16b  35566  cdleme16e  35569  cdleme16f  35570  cdlemednpq  35586  cdleme20zN  35588  cdleme20yOLD  35590  cdleme20j  35606  cdleme22aa  35627  cdleme22cN  35630  cdleme22d  35631  cdlemf2  35850  cdlemb3  35894  cdlemg12e  35935  cdlemg17dALTN  35952  cdlemg19a  35971  cdlemg27b  35984  cdlemg31d  35988  cdlemg33c  35996  cdlemg33e  35998  trlcone  36016  cdlemi  36108  tendotr  36118  cdlemk17  36146  cdlemk52  36242  cdleml1N  36264  dian0  36328  dia0  36341  dia2dimlem1  36353  dia2dimlem2  36354  dia2dimlem3  36355  dih0cnv  36572  dihmeetlem4preN  36595  dihmeetlem7N  36599  dihmeetlem17N  36612  dihlspsnat  36622  dihatexv  36627