Theorem pr2ne 8828

Description: If an unordered pair has two elements they are different. (Contributed by FL, 14-Feb-2010.)

Assertion

Ref	Expression
pr2ne	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))

Proof of Theorem pr2ne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preq2 4269	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴})
2	1	eqcoms 2630	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴})
3		enpr1g 8022	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → {𝐴, 𝐴} ≈ 1𝑜)
4		entr 8008	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ≈ {𝐴, 𝐴} ∧ {𝐴, 𝐴} ≈ 1𝑜) → {𝐴, 𝐵} ≈ 1𝑜)
5		1sdom2 8159	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1𝑜 ≺ 2𝑜
6		sdomnen 7984	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1𝑜 ≺ 2𝑜 → ¬ 1𝑜 ≈ 2𝑜)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ 1𝑜 ≈ 2𝑜
8		ensym 8005	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 1𝑜 → 1𝑜 ≈ {𝐴, 𝐵})
9		entr 8008	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1𝑜 ≈ {𝐴, 𝐵} ∧ {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜) → 1𝑜 ≈ 2𝑜)
10	9	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1𝑜 ≈ {𝐴, 𝐵} → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜 → 1𝑜 ≈ 2𝑜))
11	8, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 1𝑜 → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜 → 1𝑜 ≈ 2𝑜))
12	7, 11	mtoi 190	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 1𝑜 → ¬ {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜)
13	12	a1d 25	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 1𝑜 → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ¬ {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜))
14	4, 13	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ≈ {𝐴, 𝐴} ∧ {𝐴, 𝐴} ≈ 1𝑜) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ¬ {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜))
15	14	ex 450	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ {𝐴, 𝐴} → ({𝐴, 𝐴} ≈ 1𝑜 → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ¬ {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜)))
16		prex 4909	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ V
17		eqeng 7989	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ V → ({𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴} → {𝐴, 𝐵} ≈ {𝐴, 𝐴}))
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴} → {𝐴, 𝐵} ≈ {𝐴, 𝐴})
19	15, 18	syl11 33	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐴, 𝐴} ≈ 1𝑜 → ({𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴} → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ¬ {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜)))
20	19	a1dd 50	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐴, 𝐴} ≈ 1𝑜 → ({𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴} → (𝐵 ∈ 𝐷 → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ¬ {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜))))
21	3, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → ({𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴} → (𝐵 ∈ 𝐷 → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ¬ {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜))))
22	21	com23 86	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → (𝐵 ∈ 𝐷 → ({𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴} → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ¬ {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜))))
23	22	imp 445	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ({𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴} → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ¬ {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜)))
24	23	pm2.43a 54	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ({𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴} → ¬ {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜))
25	2, 24	syl5 34	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴 = 𝐵 → ¬ {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜))
26	25	necon2ad 2809	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜 → 𝐴 ≠ 𝐵))
27		pr2nelem 8827	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜)
28	27	3expia 1267	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴 ≠ 𝐵 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜))
29	26, 28	impbid 202	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  Vcvv 3200  {cpr 4179   class class class wbr 4653  1_𝑜c1o 7553  2_𝑜c2o 7554   ≈ cen 7952   ≺ csdm 7954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958

This theorem is referenced by:  prdom2  8829  isprm2lem  15394  pmtrrn2  17880  mdetunilem7  20424