Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | ssid 3624 |
. . . 4
⊢ ∪ 𝐵
⊆ ∪ 𝐵 |
2 | | eqid 2622 |
. . . . . 6
⊢ ∪ 𝐴 =
∪ 𝐴 |
3 | | eqid 2622 |
. . . . . 6
⊢ ∪ 𝐵 =
∪ 𝐵 |
4 | 2, 3 | isref 21312 |
. . . . 5
⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴Ref𝐵 ↔ (∪ 𝐵 = ∪
𝐴 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝑣 ⊆ 𝑢))) |
5 | 4 | simprbda 653 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴Ref𝐵) → ∪ 𝐵 = ∪
𝐴) |
6 | 1, 5 | syl5sseq 3653 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴Ref𝐵) → ∪ 𝐵 ⊆ ∪ 𝐴) |
7 | 4 | simplbda 654 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴Ref𝐵) → ∀𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝑣 ⊆ 𝑢) |
8 | | sseq2 3627 |
. . . . . 6
⊢ (𝑢 = (𝑓‘𝑣) → (𝑣 ⊆ 𝑢 ↔ 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣))) |
9 | 8 | ac6sg 9310 |
. . . . 5
⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∀𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝑣 ⊆ 𝑢 → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣)))) |
10 | 9 | adantr 481 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴Ref𝐵) → (∀𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝑣 ⊆ 𝑢 → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣)))) |
11 | 7, 10 | mpd 15 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴Ref𝐵) → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣))) |
12 | 6, 11 | jca 554 |
. 2
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴Ref𝐵) → (∪ 𝐵 ⊆ ∪ 𝐴
∧ ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣)))) |
13 | | simplr 792 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪ 𝐵 ⊆ ∪ 𝐴)
∧ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣))) → ∪ 𝐵 ⊆ ∪ 𝐴) |
14 | | nfv 1843 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
Ⅎ𝑣(𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪ 𝐵 ⊆ ∪ 𝐴) |
15 | | nfv 1843 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Ⅎ𝑣 𝑓:𝐴⟶𝐵 |
16 | | nfra1 2941 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Ⅎ𝑣∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣) |
17 | 15, 16 | nfan 1828 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
Ⅎ𝑣(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣)) |
18 | 14, 17 | nfan 1828 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
Ⅎ𝑣((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪ 𝐵 ⊆ ∪ 𝐴)
∧ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣))) |
19 | | nfv 1843 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
Ⅎ𝑣 𝑥 ∈ ∪ 𝐴 |
20 | 18, 19 | nfan 1828 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
Ⅎ𝑣(((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪ 𝐵 ⊆ ∪ 𝐴)
∧ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣))) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐴) |
21 | | simplrl 800 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪ 𝐵 ⊆ ∪ 𝐴)
∧ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝐴⟶𝐵) |
22 | | simpr 477 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪ 𝐵 ⊆ ∪ 𝐴)
∧ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → 𝑣 ∈ 𝐴) |
23 | 21, 22 | ffvelrnd 6360 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪ 𝐵 ⊆ ∪ 𝐴)
∧ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑣) ∈ 𝐵) |
24 | 23 | adantlr 751 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪ 𝐵
⊆ ∪ 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣))) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑣) ∈ 𝐵) |
25 | 24 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪ 𝐵
⊆ ∪ 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣))) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → (𝑓‘𝑣) ∈ 𝐵) |
26 | | simplrr 801 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪ 𝐵 ⊆ ∪ 𝐴)
∧ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣)) |
27 | 26 | adantlr 751 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪ 𝐵
⊆ ∪ 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣))) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣)) |
28 | | simpr 477 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪ 𝐵
⊆ ∪ 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣))) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → 𝑣 ∈ 𝐴) |
29 | | rspa 2930 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((∀𝑣 ∈
𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣)) |
30 | 27, 28, 29 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪ 𝐵
⊆ ∪ 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣))) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣)) |
31 | 30 | sselda 3603 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪ 𝐵
⊆ ∪ 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣))) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → 𝑥 ∈ (𝑓‘𝑣)) |
32 | | eleq2 2690 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑢 = (𝑓‘𝑣) → (𝑥 ∈ 𝑢 ↔ 𝑥 ∈ (𝑓‘𝑣))) |
33 | 32 | rspcev 3309 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑓‘𝑣) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (𝑓‘𝑣)) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ 𝑢) |
34 | 25, 31, 33 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪ 𝐵
⊆ ∪ 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣))) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ 𝑢) |
35 | | simpr 477 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪ 𝐵 ⊆ ∪ 𝐴)
∧ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣))) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐴) → 𝑥 ∈ ∪ 𝐴) |
36 | | eluni2 4440 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝐴
↔ ∃𝑣 ∈
𝐴 𝑥 ∈ 𝑣) |
37 | 35, 36 | sylib 208 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪ 𝐵 ⊆ ∪ 𝐴)
∧ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣))) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐴) → ∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑣) |
38 | 20, 34, 37 | r19.29af 3076 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪ 𝐵 ⊆ ∪ 𝐴)
∧ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣))) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐴) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ 𝑢) |
39 | | eluni2 4440 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵
↔ ∃𝑢 ∈
𝐵 𝑥 ∈ 𝑢) |
40 | 38, 39 | sylibr 224 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪ 𝐵 ⊆ ∪ 𝐴)
∧ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣))) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐴) → 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) |
41 | 40 | ex 450 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪ 𝐵 ⊆ ∪ 𝐴)
∧ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣))) → (𝑥 ∈ ∪ 𝐴 → 𝑥 ∈ ∪ 𝐵)) |
42 | 41 | ssrdv 3609 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪ 𝐵 ⊆ ∪ 𝐴)
∧ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣))) → ∪ 𝐴 ⊆ ∪ 𝐵) |
43 | 13, 42 | eqssd 3620 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪ 𝐵 ⊆ ∪ 𝐴)
∧ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣))) → ∪ 𝐵 = ∪
𝐴) |
44 | 26, 22, 29 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪ 𝐵 ⊆ ∪ 𝐴)
∧ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣)) |
45 | 8 | rspcev 3309 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑓‘𝑣) ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣)) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝑣 ⊆ 𝑢) |
46 | 23, 44, 45 | syl2anc 693 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪ 𝐵 ⊆ ∪ 𝐴)
∧ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝑣 ⊆ 𝑢) |
47 | 46 | ex 450 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪ 𝐵 ⊆ ∪ 𝐴)
∧ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣))) → (𝑣 ∈ 𝐴 → ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝑣 ⊆ 𝑢)) |
48 | 18, 47 | ralrimi 2957 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪ 𝐵 ⊆ ∪ 𝐴)
∧ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣))) → ∀𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝑣 ⊆ 𝑢) |
49 | 4 | ad2antrr 762 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪ 𝐵 ⊆ ∪ 𝐴)
∧ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣))) → (𝐴Ref𝐵 ↔ (∪ 𝐵 = ∪
𝐴 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝑣 ⊆ 𝑢))) |
50 | 43, 48, 49 | mpbir2and 957 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪ 𝐵 ⊆ ∪ 𝐴)
∧ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣))) → 𝐴Ref𝐵) |
51 | 50 | ex 450 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪ 𝐵 ⊆ ∪ 𝐴)
→ ((𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣)) → 𝐴Ref𝐵)) |
52 | 51 | exlimdv 1861 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪ 𝐵 ⊆ ∪ 𝐴)
→ (∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣)) → 𝐴Ref𝐵)) |
53 | 52 | impr 649 |
. 2
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (∪ 𝐵 ⊆ ∪ 𝐴
∧ ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣)))) → 𝐴Ref𝐵) |
54 | 12, 53 | impbida 877 |
1
⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴Ref𝐵 ↔ (∪ 𝐵 ⊆ ∪ 𝐴
∧ ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣))))) |