Theorem reff 29906

Description: For any cover refinement, there exists a function associating with each set in the refinement a set in the original cover containing it. This is sometimes used as a defintion of refinement. Note that this definition uses the axiom of choice through ac6sg 9310. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
reff	|- ( A e. V -> ( A Ref B <-> ( U. B C_ U. A /\ E. f ( f : A --> B /\ A. v e. A v C_ ( f ` v ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, f, v   B, f, v   f, V, v

Proof of Theorem reff

Dummy variables x u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3624	. . . 4 |- U. B C_ U. B
2		eqid 2622	. . . . . 6 |- U. A = U. A
3		eqid 2622	. . . . . 6 |- U. B = U. B
4	2, 3	isref 21312	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( A Ref B <-> ( U. B = U. A /\ A. v e. A E. u e. B v C_ u ) ) )
5	4	simprbda 653	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ A Ref B ) -> U. B = U. A )
6	1, 5	syl5sseq 3653	. . 3 |- ( ( A e. V /\ A Ref B ) -> U. B C_ U. A )
7	4	simplbda 654	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ A Ref B ) -> A. v e. A E. u e. B v C_ u )
8		sseq2 3627	. . . . . 6 |- ( u = ( f ` v ) -> ( v C_ u <-> v C_ ( f ` v ) ) )
9	8	ac6sg 9310	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( A. v e. A E. u e. B v C_ u -> E. f ( f : A --> B /\ A. v e. A v C_ ( f ` v ) ) ) )
10	9	adantr 481	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ A Ref B ) -> ( A. v e. A E. u e. B v C_ u -> E. f ( f : A --> B /\ A. v e. A v C_ ( f ` v ) ) ) )
11	7, 10	mpd 15	. . 3 |- ( ( A e. V /\ A Ref B ) -> E. f ( f : A --> B /\ A. v e. A v C_ ( f ` v ) ) )
12	6, 11	jca 554	. 2 |- ( ( A e. V /\ A Ref B ) -> ( U. B C_ U. A /\ E. f ( f : A --> B /\ A. v e. A v C_ ( f ` v ) ) ) )
13		simplr 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ U. B C_ U. A ) /\ ( f : A --> B /\ A. v e. A v C_ ( f ` v ) ) ) -> U. B C_ U. A )
14		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ v ( A e. V /\ U. B C_ U. A )
15		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ v f : A --> B
16		nfra1 2941	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ v A. v e. A v C_ ( f ` v )
17	15, 16	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ v ( f : A --> B /\ A. v e. A v C_ ( f ` v ) )
18	14, 17	nfan 1828	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ v ( ( A e. V /\ U. B C_ U. A ) /\ ( f : A --> B /\ A. v e. A v C_ ( f ` v ) ) )
19		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ v x e. U. A
20	18, 19	nfan 1828	. . . . . . . . . . 11 |- F/ v ( ( ( A e. V /\ U. B C_ U. A ) /\ ( f : A --> B /\ A. v e. A v C_ ( f ` v ) ) ) /\ x e. U. A )
21		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. V /\ U. B C_ U. A ) /\ ( f : A --> B /\ A. v e. A v C_ ( f ` v ) ) ) /\ v e. A ) -> f : A --> B )
22		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. V /\ U. B C_ U. A ) /\ ( f : A --> B /\ A. v e. A v C_ ( f ` v ) ) ) /\ v e. A ) -> v e. A )
23	21, 22	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. V /\ U. B C_ U. A ) /\ ( f : A --> B /\ A. v e. A v C_ ( f ` v ) ) ) /\ v e. A ) -> ( f ` v ) e. B )
24	23	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ U. B C_ U. A ) /\ ( f : A --> B /\ A. v e. A v C_ ( f ` v ) ) ) /\ x e. U. A ) /\ v e. A ) -> ( f ` v ) e. B )
25	24	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ U. B C_ U. A ) /\ ( f : A --> B /\ A. v e. A v C_ ( f ` v ) ) ) /\ x e. U. A ) /\ v e. A ) /\ x e. v ) -> ( f ` v ) e. B )
26		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. V /\ U. B C_ U. A ) /\ ( f : A --> B /\ A. v e. A v C_ ( f ` v ) ) ) /\ v e. A ) -> A. v e. A v C_ ( f ` v ) )
27	26	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ U. B C_ U. A ) /\ ( f : A --> B /\ A. v e. A v C_ ( f ` v ) ) ) /\ x e. U. A ) /\ v e. A ) -> A. v e. A v C_ ( f ` v ) )
28		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ U. B C_ U. A ) /\ ( f : A --> B /\ A. v e. A v C_ ( f ` v ) ) ) /\ x e. U. A ) /\ v e. A ) -> v e. A )
29		rspa 2930	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. v e. A v C_ ( f ` v ) /\ v e. A ) -> v C_ ( f ` v ) )
30	27, 28, 29	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ U. B C_ U. A ) /\ ( f : A --> B /\ A. v e. A v C_ ( f ` v ) ) ) /\ x e. U. A ) /\ v e. A ) -> v C_ ( f ` v ) )
31	30	sselda 3603	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ U. B C_ U. A ) /\ ( f : A --> B /\ A. v e. A v C_ ( f ` v ) ) ) /\ x e. U. A ) /\ v e. A ) /\ x e. v ) -> x e. ( f ` v ) )
32		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = ( f ` v ) -> ( x e. u <-> x e. ( f ` v ) ) )
33	32	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f ` v ) e. B /\ x e. ( f ` v ) ) -> E. u e. B x e. u )
34	25, 31, 33	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ U. B C_ U. A ) /\ ( f : A --> B /\ A. v e. A v C_ ( f ` v ) ) ) /\ x e. U. A ) /\ v e. A ) /\ x e. v ) -> E. u e. B x e. u )
35		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ U. B C_ U. A ) /\ ( f : A --> B /\ A. v e. A v C_ ( f ` v ) ) ) /\ x e. U. A ) -> x e. U. A )
36		eluni2 4440	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. U. A <-> E. v e. A x e. v )
37	35, 36	sylib 208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ U. B C_ U. A ) /\ ( f : A --> B /\ A. v e. A v C_ ( f ` v ) ) ) /\ x e. U. A ) -> E. v e. A x e. v )
38	20, 34, 37	r19.29af 3076	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ U. B C_ U. A ) /\ ( f : A --> B /\ A. v e. A v C_ ( f ` v ) ) ) /\ x e. U. A ) -> E. u e. B x e. u )
39		eluni2 4440	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. U. B <-> E. u e. B x e. u )
40	38, 39	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ U. B C_ U. A ) /\ ( f : A --> B /\ A. v e. A v C_ ( f ` v ) ) ) /\ x e. U. A ) -> x e. U. B )
41	40	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ U. B C_ U. A ) /\ ( f : A --> B /\ A. v e. A v C_ ( f ` v ) ) ) -> ( x e. U. A -> x e. U. B ) )
42	41	ssrdv 3609	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ U. B C_ U. A ) /\ ( f : A --> B /\ A. v e. A v C_ ( f ` v ) ) ) -> U. A C_ U. B )
43	13, 42	eqssd 3620	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ U. B C_ U. A ) /\ ( f : A --> B /\ A. v e. A v C_ ( f ` v ) ) ) -> U. B = U. A )
44	26, 22, 29	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ U. B C_ U. A ) /\ ( f : A --> B /\ A. v e. A v C_ ( f ` v ) ) ) /\ v e. A ) -> v C_ ( f ` v ) )
45	8	rspcev 3309	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f ` v ) e. B /\ v C_ ( f ` v ) ) -> E. u e. B v C_ u )
46	23, 44, 45	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ U. B C_ U. A ) /\ ( f : A --> B /\ A. v e. A v C_ ( f ` v ) ) ) /\ v e. A ) -> E. u e. B v C_ u )
47	46	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ U. B C_ U. A ) /\ ( f : A --> B /\ A. v e. A v C_ ( f ` v ) ) ) -> ( v e. A -> E. u e. B v C_ u ) )
48	18, 47	ralrimi 2957	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ U. B C_ U. A ) /\ ( f : A --> B /\ A. v e. A v C_ ( f ` v ) ) ) -> A. v e. A E. u e. B v C_ u )
49	4	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ U. B C_ U. A ) /\ ( f : A --> B /\ A. v e. A v C_ ( f ` v ) ) ) -> ( A Ref B <-> ( U. B = U. A /\ A. v e. A E. u e. B v C_ u ) ) )
50	43, 48, 49	mpbir2and 957	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ U. B C_ U. A ) /\ ( f : A --> B /\ A. v e. A v C_ ( f ` v ) ) ) -> A Ref B )
51	50	ex 450	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ U. B C_ U. A ) -> ( ( f : A --> B /\ A. v e. A v C_ ( f ` v ) ) -> A Ref B ) )
52	51	exlimdv 1861	. . 3 |- ( ( A e. V /\ U. B C_ U. A ) -> ( E. f ( f : A --> B /\ A. v e. A v C_ ( f ` v ) ) -> A Ref B ) )
53	52	impr 649	. 2 |- ( ( A e. V /\ ( U. B C_ U. A /\ E. f ( f : A --> B /\ A. v e. A v C_ ( f ` v ) ) ) ) -> A Ref B )
54	12, 53	impbida 877	1 |- ( A e. V -> ( A Ref B <-> ( U. B C_ U. A /\ E. f ( f : A --> B /\ A. v e. A v C_ ( f ` v ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888   Refcref 21305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-reg 8497  ax-inf2 8538  ax-ac2 9285

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-en 7956  df-r1 8627  df-rank 8628  df-card 8765  df-ac 8939  df-ref 21308

This theorem is referenced by:  locfinreflem  29907