Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpl 473 |
. . 3
⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → 𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁)) |
2 | | simp3 1063 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝐼 ∈
ℤ) |
3 | | simp1 1061 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈
ℤ) |
4 | 2, 3 | ifcld 4131 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → if(𝐼 ≤ 𝑀, 𝐼, 𝑀) ∈ ℤ) |
5 | 4 | adantr 481 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → if(𝐼 ≤ 𝑀, 𝐼, 𝑀) ∈ ℤ) |
6 | | elfzelz 12342 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ) |
7 | 6 | adantl 482 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ) |
8 | 4 | zred 11482 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → if(𝐼 ≤ 𝑀, 𝐼, 𝑀) ∈ ℝ) |
9 | 8 | adantr 481 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → if(𝐼 ≤ 𝑀, 𝐼, 𝑀) ∈ ℝ) |
10 | | zre 11381 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈
ℝ) |
11 | 10 | 3ad2ant1 1082 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈
ℝ) |
12 | 11 | adantr 481 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ) |
13 | 6 | zred 11482 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ ℝ) |
14 | 13 | adantl 482 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ) |
15 | | zre 11381 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈
ℝ) |
16 | 10, 15 | anim12i 590 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈
ℝ)) |
17 | 16 | ancomd 467 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈
ℝ)) |
18 | 17 | 3adant2 1080 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈
ℝ)) |
19 | 18 | adantr 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) |
20 | | min2 12021 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → if(𝐼 ≤ 𝑀, 𝐼, 𝑀) ≤ 𝑀) |
21 | 19, 20 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → if(𝐼 ≤ 𝑀, 𝐼, 𝑀) ≤ 𝑀) |
22 | | elfzle1 12344 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑘) |
23 | 22 | adantl 482 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ≤ 𝑘) |
24 | 9, 12, 14, 21, 23 | letrd 10194 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → if(𝐼 ≤ 𝑀, 𝐼, 𝑀) ≤ 𝑘) |
25 | | eluz2 11693 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑘 ∈
(ℤ≥‘if(𝐼 ≤ 𝑀, 𝐼, 𝑀)) ↔ (if(𝐼 ≤ 𝑀, 𝐼, 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ if(𝐼 ≤ 𝑀, 𝐼, 𝑀) ≤ 𝑘)) |
26 | 5, 7, 24, 25 | syl3anbrc 1246 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑘 ∈
(ℤ≥‘if(𝐼 ≤ 𝑀, 𝐼, 𝑀))) |
27 | | simp2 1062 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈
ℤ) |
28 | 27, 2 | ifcld 4131 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ ℤ) |
29 | 28 | adantr 481 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ ℤ) |
30 | | zre 11381 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈
ℝ) |
31 | 30 | 3ad2ant2 1083 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈
ℝ) |
32 | 31 | adantr 481 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ) |
33 | 28 | zred 11482 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ ℝ) |
34 | 33 | adantr 481 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ ℝ) |
35 | | elfzle2 12345 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ≤ 𝑁) |
36 | 35 | adantl 482 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑘 ≤ 𝑁) |
37 | 30, 15 | anim12i 590 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈
ℝ)) |
38 | 37 | 3adant1 1079 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈
ℝ)) |
39 | 38 | ancomd 467 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈
ℝ)) |
40 | | max2 12018 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑁 ≤ if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼)) |
41 | 39, 40 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝑁 ≤ if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼)) |
42 | 41 | adantr 481 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑁 ≤ if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼)) |
43 | 14, 32, 34, 36, 42 | letrd 10194 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑘 ≤ if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼)) |
44 | | eluz2 11693 |
. . . . . . . 8
⊢ (if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ≤ if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼))) |
45 | 7, 29, 43, 44 | syl3anbrc 1246 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) |
46 | | elfzuzb 12336 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑘 ∈ (if(𝐼 ≤ 𝑀, 𝐼, 𝑀)...if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼)) ↔ (𝑘 ∈
(ℤ≥‘if(𝐼 ≤ 𝑀, 𝐼, 𝑀)) ∧ if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ (ℤ≥‘𝑘))) |
47 | 26, 45, 46 | sylanbrc 698 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑘 ∈ (if(𝐼 ≤ 𝑀, 𝐼, 𝑀)...if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼))) |
48 | 47 | ex 450 |
. . . . 5
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ (if(𝐼 ≤ 𝑀, 𝐼, 𝑀)...if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼)))) |
49 | 48 | ssrdv 3609 |
. . . 4
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ⊆ (if(𝐼 ≤ 𝑀, 𝐼, 𝑀)...if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼))) |
50 | 49 | adantl 482 |
. . 3
⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → (𝑀...𝑁) ⊆ (if(𝐼 ≤ 𝑀, 𝐼, 𝑀)...if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼))) |
51 | 1, 50 | sstrd 3613 |
. 2
⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → 𝑆 ⊆ (if(𝐼 ≤ 𝑀, 𝐼, 𝑀)...if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼))) |
52 | 4 | adantl 482 |
. . . . 5
⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → if(𝐼 ≤ 𝑀, 𝐼, 𝑀) ∈ ℤ) |
53 | 28 | adantl 482 |
. . . . 5
⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ ℤ) |
54 | 2 | adantl 482 |
. . . . 5
⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → 𝐼 ∈ ℤ) |
55 | 52, 53, 54 | 3jca 1242 |
. . . 4
⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → (if(𝐼 ≤ 𝑀, 𝐼, 𝑀) ∈ ℤ ∧ if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) |
56 | 16 | 3adant2 1080 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈
ℝ)) |
57 | 56 | adantl 482 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ)) |
58 | 57 | ancomd 467 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → (𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) |
59 | | min1 12020 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → if(𝐼 ≤ 𝑀, 𝐼, 𝑀) ≤ 𝐼) |
60 | 58, 59 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → if(𝐼 ≤ 𝑀, 𝐼, 𝑀) ≤ 𝐼) |
61 | 38 | adantl 482 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ)) |
62 | 61 | ancomd 467 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → (𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) |
63 | | max1 12016 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝐼 ≤ if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼)) |
64 | 62, 63 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → 𝐼 ≤ if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼)) |
65 | 60, 64 | jca 554 |
. . . 4
⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → (if(𝐼 ≤ 𝑀, 𝐼, 𝑀) ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 ≤ if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼))) |
66 | | elfz2 12333 |
. . . 4
⊢ (𝐼 ∈ (if(𝐼 ≤ 𝑀, 𝐼, 𝑀)...if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼)) ↔ ((if(𝐼 ≤ 𝑀, 𝐼, 𝑀) ∈ ℤ ∧ if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ (if(𝐼 ≤ 𝑀, 𝐼, 𝑀) ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 ≤ if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼)))) |
67 | 55, 65, 66 | sylanbrc 698 |
. . 3
⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → 𝐼 ∈ (if(𝐼 ≤ 𝑀, 𝐼, 𝑀)...if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼))) |
68 | 67 | snssd 4340 |
. 2
⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → {𝐼} ⊆ (if(𝐼 ≤ 𝑀, 𝐼, 𝑀)...if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼))) |
69 | 51, 68 | unssd 3789 |
1
⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → (𝑆 ∪ {𝐼}) ⊆ (if(𝐼 ≤ 𝑀, 𝐼, 𝑀)...if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼))) |