Theorem max1 12016

Description: A number is less than or equal to the maximum of it and another. See also max1ALT 12017. (Contributed by NM, 3-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
max1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Proof of Theorem max1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 10085	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 10085	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrmax1 12006	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 494	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∈ wcel 1990  ifcif 4086   class class class wbr 4653  ℝcr 9935  ℝ^*cxr 10073   ≤ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080

This theorem is referenced by:  z2ge  12029  ssfzunsnext  12386  uzsup  12662  expmulnbnd  12996  discr1  13000  rexuzre  14092  rexico  14093  caubnd  14098  limsupgre  14212  limsupbnd2  14214  rlim3  14229  lo1bdd2  14255  o1lo1  14268  rlimclim1  14276  lo1mul  14358  rlimno1  14384  cvgrat  14615  ruclem10  14968  bitsfzo  15157  1arith  15631  setsstruct2  15896  evth  22758  ioombl1lem1  23326  mbfi1flimlem  23489  itg2monolem3  23519  iblre  23560  itgreval  23563  iblss  23571  i1fibl  23574  itgitg1  23575  itgle  23576  itgeqa  23580  iblconst  23584  itgconst  23585  ibladdlem  23586  itgaddlem2  23590  iblabslem  23594  iblabsr  23596  iblmulc2  23597  itgmulc2lem2  23599  itgsplit  23602  plyaddlem1  23969  coeaddlem  24005  o1cxp  24701  cxp2lim  24703  cxploglim2  24705  ftalem1  24799  ftalem2  24800  chtppilim  25164  dchrisumlem3  25180  ostth2lem2  25323  ostth3  25327  knoppndvlem18  32520  ibladdnclem  33466  itgaddnclem2  33469  iblabsnclem  33473  iblmulc2nc  33475  itgmulc2nclem2  33477  ftc1anclem5  33489  irrapxlem4  37389  irrapxlem5  37390  rexabslelem  39645  uzublem  39657  max1d  39678  uzubioo  39794  climsuse  39840  limsupubuzlem  39944  limsupmnfuzlem  39958  limsupequzmptlem  39960  limsupre3uzlem  39967  liminflelimsuplem  40007  ioodvbdlimc1lem2  40147  ioodvbdlimc2lem  40149