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Theorem ssfzunsnext 12386
Description: A subset of a finite sequence of integers extended by an integer is a subset of a (possibly extended) finite sequence of integers. (Contributed by AV, 13-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
ssfzunsnext |- ( ( S C_ ( M ... N ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) ) -> ( S u. { I } ) C_ ( if ( I <_ M , I , M ) ... if ( I <_ N , N , I ) ) )
Proof of Theorem ssfzunsnext
Dummy variable k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 473 . . 3 |- ( ( S C_ ( M ... N ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) ) -> S C_ ( M ... N ) )
2 simp3 1063 . . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> I e. ZZ )
3 simp1 1061 . . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> M e. ZZ )
42, 3ifcld 4131 . . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> if ( I <_ M , I , M ) e. ZZ )
54adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> if ( I <_ M , I , M ) e. ZZ )
6 elfzelz 12342 . . . . . . . . 9 |- ( k e. ( M ... N ) -> k e. ZZ )
76adantl 482 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> k e. ZZ )
84zred 11482 . . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> if ( I <_ M , I , M ) e. RR )
98adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> if ( I <_ M , I , M ) e. RR )
10 zre 11381 . . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
11103ad2ant1 1082 . . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> M e. RR )
1211adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> M e. RR )
136zred 11482 . . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( M ... N ) -> k e. RR )
1413adantl 482 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> k e. RR )
15 zre 11381 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( I e. ZZ -> I e. RR )
1610, 15anim12i 590 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( M e. RR /\ I e. RR ) )
1716ancomd 467 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( I e. RR /\ M e. RR ) )
18173adant2 1080 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( I e. RR /\ M e. RR ) )
1918adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( I e. RR /\ M e. RR ) )
20 min2 12021 . . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. RR /\ M e. RR ) -> if ( I <_ M , I , M ) <_ M )
2119, 20syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> if ( I <_ M , I , M ) <_ M )
22 elfzle1 12344 . . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( M ... N ) -> M <_ k )
2322adantl 482 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> M <_ k )
249, 12, 14, 21, 23letrd 10194 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> if ( I <_ M , I , M ) <_ k )
25 eluz2 11693 . . . . . . . 8 |- ( k e. ( ZZ>= ` if ( I <_ M , I , M ) ) <-> ( if ( I <_ M , I , M ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ if ( I <_ M , I , M ) <_ k ) )
265, 7, 24, 25syl3anbrc 1246 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> k e. ( ZZ>= ` if ( I <_ M , I , M ) ) )
27 simp2 1062 . . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> N e. ZZ )
2827, 2ifcld 4131 . . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> if ( I <_ N , N , I ) e. ZZ )
2928adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> if ( I <_ N , N , I ) e. ZZ )
30 zre 11381 . . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
31303ad2ant2 1083 . . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> N e. RR )
3231adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> N e. RR )
3328zred 11482 . . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> if ( I <_ N , N , I ) e. RR )
3433adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> if ( I <_ N , N , I ) e. RR )
35 elfzle2 12345 . . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( M ... N ) -> k <_ N )
3635adantl 482 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> k <_ N )
3730, 15anim12i 590 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( N e. RR /\ I e. RR ) )
38373adant1 1079 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( N e. RR /\ I e. RR ) )
3938ancomd 467 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( I e. RR /\ N e. RR ) )
40 max2 12018 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( I e. RR /\ N e. RR ) -> N <_ if ( I <_ N , N , I ) )
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> N <_ if ( I <_ N , N , I ) )
4241adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> N <_ if ( I <_ N , N , I ) )
4314, 32, 34, 36, 42letrd 10194 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> k <_ if ( I <_ N , N , I ) )
44 eluz2 11693 . . . . . . . 8 |- ( if ( I <_ N , N , I ) e. ( ZZ>= ` k ) <-> ( k e. ZZ /\ if ( I <_ N , N , I ) e. ZZ /\ k <_ if ( I <_ N , N , I ) ) )
457, 29, 43, 44syl3anbrc 1246 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> if ( I <_ N , N , I ) e. ( ZZ>= ` k ) )
46 elfzuzb 12336 . . . . . . 7 |- ( k e. ( if ( I <_ M , I , M ) ... if ( I <_ N , N , I ) ) <-> ( k e. ( ZZ>= ` if ( I <_ M , I , M ) ) /\ if ( I <_ N , N , I ) e. ( ZZ>= ` k ) ) )
4726, 45, 46sylanbrc 698 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> k e. ( if ( I <_ M , I , M ) ... if ( I <_ N , N , I ) ) )
4847ex 450 . . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... N ) -> k e. ( if ( I <_ M , I , M ) ... if ( I <_ N , N , I ) ) ) )
4948ssrdv 3609 . . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( M ... N ) C_ ( if ( I <_ M , I , M ) ... if ( I <_ N , N , I ) ) )
5049adantl 482 . . 3 |- ( ( S C_ ( M ... N ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) ) -> ( M ... N ) C_ ( if ( I <_ M , I , M ) ... if ( I <_ N , N , I ) ) )
511, 50sstrd 3613 . 2 |- ( ( S C_ ( M ... N ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) ) -> S C_ ( if ( I <_ M , I , M ) ... if ( I <_ N , N , I ) ) )
524adantl 482 . . . . 5 |- ( ( S C_ ( M ... N ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) ) -> if ( I <_ M , I , M ) e. ZZ )
5328adantl 482 . . . . 5 |- ( ( S C_ ( M ... N ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) ) -> if ( I <_ N , N , I ) e. ZZ )
542adantl 482 . . . . 5 |- ( ( S C_ ( M ... N ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) ) -> I e. ZZ )
5552, 53, 543jca 1242 . . . 4 |- ( ( S C_ ( M ... N ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) ) -> ( if ( I <_ M , I , M ) e. ZZ /\ if ( I <_ N , N , I ) e. ZZ /\ I e. ZZ ) )
56163adant2 1080 . . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( M e. RR /\ I e. RR ) )
5756adantl 482 . . . . . . 7 |- ( ( S C_ ( M ... N ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) ) -> ( M e. RR /\ I e. RR ) )
5857ancomd 467 . . . . . 6 |- ( ( S C_ ( M ... N ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) ) -> ( I e. RR /\ M e. RR ) )
59 min1 12020 . . . . . 6 |- ( ( I e. RR /\ M e. RR ) -> if ( I <_ M , I , M ) <_ I )
6058, 59syl 17 . . . . 5 |- ( ( S C_ ( M ... N ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) ) -> if ( I <_ M , I , M ) <_ I )
6138adantl 482 . . . . . . 7 |- ( ( S C_ ( M ... N ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) ) -> ( N e. RR /\ I e. RR ) )
6261ancomd 467 . . . . . 6 |- ( ( S C_ ( M ... N ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) ) -> ( I e. RR /\ N e. RR ) )
63 max1 12016 . . . . . 6 |- ( ( I e. RR /\ N e. RR ) -> I <_ if ( I <_ N , N , I ) )
6462, 63syl 17 . . . . 5 |- ( ( S C_ ( M ... N ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) ) -> I <_ if ( I <_ N , N , I ) )
6560, 64jca 554 . . . 4 |- ( ( S C_ ( M ... N ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) ) -> ( if ( I <_ M , I , M ) <_ I /\ I <_ if ( I <_ N , N , I ) ) )
66 elfz2 12333 . . . 4 |- ( I e. ( if ( I <_ M , I , M ) ... if ( I <_ N , N , I ) ) <-> ( ( if ( I <_ M , I , M ) e. ZZ /\ if ( I <_ N , N , I ) e. ZZ /\ I e. ZZ ) /\ ( if ( I <_ M , I , M ) <_ I /\ I <_ if ( I <_ N , N , I ) ) ) )
6755, 65, 66sylanbrc 698 . . 3 |- ( ( S C_ ( M ... N ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) ) -> I e. ( if ( I <_ M , I , M ) ... if ( I <_ N , N , I ) ) )
6867snssd 4340 . 2 |- ( ( S C_ ( M ... N ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) ) -> { I } C_ ( if ( I <_ M , I , M ) ... if ( I <_ N , N , I ) ) )
6951, 68unssd 3789 1 |- ( ( S C_ ( M ... N ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. ZZ ) ) -> ( S u. { I } ) C_ ( if ( I <_ M , I , M ) ... if ( I <_ N , N , I ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   u. cun 3572   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   <_ cle 10075   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-neg 10269  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327
This theorem is referenced by:  ssfzunsn  12387  setsstruct2  15896
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