Theorem supsn 8378

Description: The supremum of a singleton. (Contributed by NM, 2-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
supsn	⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → sup({𝐵}, 𝐴, 𝑅) = 𝐵)

Proof of Theorem supsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsn2 4190	. . . 4 ⊢ {𝐵} = {𝐵, 𝐵}
2	1	supeq1i 8353	. . 3 ⊢ sup({𝐵}, 𝐴, 𝑅) = sup({𝐵, 𝐵}, 𝐴, 𝑅)
3		suppr 8377	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → sup({𝐵, 𝐵}, 𝐴, 𝑅) = if(𝐵𝑅𝐵, 𝐵, 𝐵))
4	3	3anidm23 1385	. . 3 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → sup({𝐵, 𝐵}, 𝐴, 𝑅) = if(𝐵𝑅𝐵, 𝐵, 𝐵))
5	2, 4	syl5eq 2668	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → sup({𝐵}, 𝐴, 𝑅) = if(𝐵𝑅𝐵, 𝐵, 𝐵))
6		ifid 4125	. 2 ⊢ if(𝐵𝑅𝐵, 𝐵, 𝐵) = 𝐵
7	5, 6	syl6eq 2672	1 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → sup({𝐵}, 𝐴, 𝑅) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ifcif 4086  {csn 4177  {cpr 4179   class class class wbr 4653   Or wor 5034  supcsup 8346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-po 5035  df-so 5036  df-iota 5851  df-riota 6611  df-sup 8348

This theorem is referenced by:  supxrmnf  12147  ramz  15729  xpsdsval  22186  ovolctb  23258  nmoo0  27646  nmop0  28845  nmfn0  28846  esumnul  30110  esum0  30111  ovoliunnfl  33451  voliunnfl  33453  volsupnfl  33454  liminf10ex  40006  fourierdlem79  40402  sge0z  40592  sge00  40593