Theorem liminf10ex 40006

Description: The inferior limit of a function that alternates between two values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
liminf10ex.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 1))

Assertion

Ref	Expression
liminf10ex	⊢ (lim inf‘𝐹) = 0

Proof of Theorem liminf10ex

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nftru 1730	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘⊤
2		nnex 11026	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℕ ∈ V)
4		liminf10ex.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 1))
5		0xr 10086	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ*)
7		1re 10039	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
8	7	rexri 10097	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ*
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ*)
10	6, 9	ifcld 4131	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → if(2 ∥ 𝑛, 0, 1) ∈ ℝ*)
11	4, 10	fmpti 6383	. . . . 5 ⊢ 𝐹:ℕ⟶ℝ*
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐹:ℕ⟶ℝ*)
13		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ))
14	1, 3, 12, 13	liminfval5 39997	. . 3 ⊢ (⊤ → (lim inf‘𝐹) = sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
15	14	trud 1493	. 2 ⊢ (lim inf‘𝐹) = sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < )
16		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → 𝑘 ∈ ℝ)
17	4, 16	limsup10exlem 40004	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) = {0, 1})
18	17	infeq1d 8383	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) = inf({0, 1}, ℝ*, < ))
19		xrltso 11974	. . . . . . . . . 10 ⊢ < Or ℝ*
20		infpr 8409	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → inf({0, 1}, ℝ*, < ) = if(0 < 1, 0, 1))
21	19, 5, 8, 20	mp3an 1424	. . . . . . . . 9 ⊢ inf({0, 1}, ℝ*, < ) = if(0 < 1, 0, 1)
22		0lt1 10550	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 1
23	22	iftruei 4093	. . . . . . . . 9 ⊢ if(0 < 1, 0, 1) = 0
24	21, 23	eqtri 2644	. . . . . . . 8 ⊢ inf({0, 1}, ℝ*, < ) = 0
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → inf({0, 1}, ℝ*, < ) = 0)
26	18, 25	eqtrd 2656	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) = 0)
27	26	mpteq2ia 4740	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ 0)
28	27	rneqi 5352	. . . 4 ⊢ ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ 0)
29		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ 0) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ 0)
30		0re 10040	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
31	30	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
32		ren0 39626	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ≠ ∅
33	32	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ℝ ≠ ∅)
34	29, 31, 33	rnmptc 39353	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ 0) = {0})
35	34	trud 1493	. . . 4 ⊢ ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ 0) = {0}
36	28, 35	eqtri 2644	. . 3 ⊢ ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = {0}
37	36	supeq1i 8353	. 2 ⊢ sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = sup({0}, ℝ*, < )
38		supsn 8378	. . 3 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
39	19, 5, 38	mp2an 708	. 2 ⊢ sup({0}, ℝ*, < ) = 0
40	15, 37, 39	3eqtri 2648	1 ⊢ (lim inf‘𝐹) = 0

Syntax hints:   ∧ wa 384   = wceq 1483  ⊤wtru 1484   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  Vcvv 3200  ∅c0 3915  ifcif 4086  {csn 4177  {cpr 4179   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729   Or wor 5034  ran crn 5115   “ cima 5117  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  supcsup 8346  infcinf 8347  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937  +∞cpnf 10071  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074  ℕcn 11020  2c2 11070  [,)cico 12177   ∥ cdvds 14983  lim infclsi 39983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fl 12593  df-ceil 12594  df-dvds 14984  df-liminf 39984

This theorem is referenced by:  liminfltlimsupex  40013