Theorem trufil 21714

Description: Conditions for the trace of an ultrafilter 𝐿 to be an ultrafilter. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
trufil	⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ((𝐿 ↾t 𝐴) ∈ (UFil‘𝐴) ↔ 𝐴 ∈ 𝐿))

Proof of Theorem trufil

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ufilfil 21708	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ↾t 𝐴) ∈ (UFil‘𝐴) → (𝐿 ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴))
2		ufilfil 21708	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) → 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌))
3		trfil3 21692	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ((𝐿 ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ↔ ¬ (𝑌 ∖ 𝐴) ∈ 𝐿))
4	2, 3	sylan 488	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ((𝐿 ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ↔ ¬ (𝑌 ∖ 𝐴) ∈ 𝐿))
5	1, 4	syl5ib 234	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ((𝐿 ↾t 𝐴) ∈ (UFil‘𝐴) → ¬ (𝑌 ∖ 𝐴) ∈ 𝐿))
6	4	biimprd 238	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (¬ (𝑌 ∖ 𝐴) ∈ 𝐿 → (𝐿 ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴)))
7		elpwi 4168	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 → 𝑥 ⊆ 𝐴)
8		simpll 790	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌))
9		simpr 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
10		simplr 792	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝐴 ⊆ 𝑌)
11	9, 10	sstrd 3613	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝑥 ⊆ 𝑌)
12		ufilss 21709	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑌) → (𝑥 ∈ 𝐿 ∨ (𝑌 ∖ 𝑥) ∈ 𝐿))
13	8, 11, 12	syl2anc 693	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐿 ∨ (𝑌 ∖ 𝑥) ∈ 𝐿))
14		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑌 → 𝐴 ⊆ 𝑌)
15		elfvdm 6220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) → 𝑌 ∈ dom UFil)
16		ssexg 4804	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ dom UFil) → 𝐴 ∈ V)
17	14, 15, 16	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → 𝐴 ∈ V)
18		elrestr 16089	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ (𝐿 ↾t 𝐴))
19	18	3expia 1267	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝐿 → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ (𝐿 ↾t 𝐴)))
20	17, 19	syldan 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (𝑥 ∈ 𝐿 → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ (𝐿 ↾t 𝐴)))
21	20	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐿 → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ (𝐿 ↾t 𝐴)))
22		df-ss 3588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ (𝑥 ∩ 𝐴) = 𝑥)
23	9, 22	sylib 208	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∩ 𝐴) = 𝑥)
24	23	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∈ (𝐿 ↾t 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ (𝐿 ↾t 𝐴)))
25	21, 24	sylibd 229	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐿 → 𝑥 ∈ (𝐿 ↾t 𝐴)))
26		indif1 3871	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑌 ∖ 𝑥) ∩ 𝐴) = ((𝑌 ∩ 𝐴) ∖ 𝑥)
27		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑌 ∖ 𝑥) ∈ 𝐿)) → 𝐴 ⊆ 𝑌)
28		sseqin2 3817	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑌 ↔ (𝑌 ∩ 𝐴) = 𝐴)
29	27, 28	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑌 ∖ 𝑥) ∈ 𝐿)) → (𝑌 ∩ 𝐴) = 𝐴)
30	29	difeq1d 3727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑌 ∖ 𝑥) ∈ 𝐿)) → ((𝑌 ∩ 𝐴) ∖ 𝑥) = (𝐴 ∖ 𝑥))
31	26, 30	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑌 ∖ 𝑥) ∈ 𝐿)) → ((𝑌 ∖ 𝑥) ∩ 𝐴) = (𝐴 ∖ 𝑥))
32		simpll 790	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑌 ∖ 𝑥) ∈ 𝐿)) → 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌))
33	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑌 ∖ 𝑥) ∈ 𝐿)) → 𝐴 ∈ V)
34		simprr 796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑌 ∖ 𝑥) ∈ 𝐿)) → (𝑌 ∖ 𝑥) ∈ 𝐿)
35		elrestr 16089	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V ∧ (𝑌 ∖ 𝑥) ∈ 𝐿) → ((𝑌 ∖ 𝑥) ∩ 𝐴) ∈ (𝐿 ↾t 𝐴))
36	32, 33, 34, 35	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑌 ∖ 𝑥) ∈ 𝐿)) → ((𝑌 ∖ 𝑥) ∩ 𝐴) ∈ (𝐿 ↾t 𝐴))
37	31, 36	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑌 ∖ 𝑥) ∈ 𝐿)) → (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ (𝐿 ↾t 𝐴))
38	37	expr 643	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → ((𝑌 ∖ 𝑥) ∈ 𝐿 → (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ (𝐿 ↾t 𝐴)))
39	25, 38	orim12d 883	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐿 ∨ (𝑌 ∖ 𝑥) ∈ 𝐿) → (𝑥 ∈ (𝐿 ↾t 𝐴) ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ (𝐿 ↾t 𝐴))))
40	13, 39	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝐿 ↾t 𝐴) ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ (𝐿 ↾t 𝐴)))
41	7, 40	sylan2 491	. . . . . 6 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝐿 ↾t 𝐴) ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ (𝐿 ↾t 𝐴)))
42	41	ralrimiva 2966	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ (𝐿 ↾t 𝐴) ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ (𝐿 ↾t 𝐴)))
43	6, 42	jctird 567	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (¬ (𝑌 ∖ 𝐴) ∈ 𝐿 → ((𝐿 ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ (𝐿 ↾t 𝐴) ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ (𝐿 ↾t 𝐴)))))
44		isufil 21707	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ↾t 𝐴) ∈ (UFil‘𝐴) ↔ ((𝐿 ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ (𝐿 ↾t 𝐴) ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ (𝐿 ↾t 𝐴))))
45	43, 44	syl6ibr 242	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (¬ (𝑌 ∖ 𝐴) ∈ 𝐿 → (𝐿 ↾t 𝐴) ∈ (UFil‘𝐴)))
46	5, 45	impbid 202	. 2 ⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ((𝐿 ↾t 𝐴) ∈ (UFil‘𝐴) ↔ ¬ (𝑌 ∖ 𝐴) ∈ 𝐿))
47		ufilb 21710	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (¬ 𝐴 ∈ 𝐿 ↔ (𝑌 ∖ 𝐴) ∈ 𝐿))
48	47	con1bid 345	. 2 ⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (¬ (𝑌 ∖ 𝐴) ∈ 𝐿 ↔ 𝐴 ∈ 𝐿))
49	46, 48	bitrd 268	1 ⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ((𝐿 ↾t 𝐴) ∈ (UFil‘𝐴) ↔ 𝐴 ∈ 𝐿))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  Vcvv 3200   ∖ cdif 3571   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  𝒫 cpw 4158  dom cdm 5114  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ↾_t crest 16081  Filcfil 21649  UFilcufil 21703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-rest 16083  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-fil 21650  df-ufil 21705

This theorem is referenced by:  ssufl  21722