Theorem xrge0addass 29690

Description: Associativity of extended nonnegative real addition. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
xrge0addass	⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))

Proof of Theorem xrge0addass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 12256	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		simp1 1061	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
3	1, 2	sseldi 3601	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		0xr 10086	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ∈ ℝ*)
6		pnfxr 10092	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
8		elicc4 12240	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞)))
9	5, 7, 3, 8	syl3anc 1326	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞)))
10	2, 9	mpbid 222	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞))
11	10	simpld 475	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐴)
12		ge0nemnf 12004	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≠ -∞)
13	3, 11, 12	syl2anc 693	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐴 ≠ -∞)
14		simp2 1062	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
15	1, 14	sseldi 3601	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
16		elicc4 12240	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (0[,]+∞) ↔ (0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ +∞)))
17	5, 7, 15, 16	syl3anc 1326	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐵 ∈ (0[,]+∞) ↔ (0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ +∞)))
18	14, 17	mpbid 222	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → (0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ +∞))
19	18	simpld 475	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐵)
20		ge0nemnf 12004	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) → 𝐵 ≠ -∞)
21	15, 19, 20	syl2anc 693	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐵 ≠ -∞)
22		simp3 1063	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
23	1, 22	sseldi 3601	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
24		elicc4 12240	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (0[,]+∞) ↔ (0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ +∞)))
25	5, 7, 23, 24	syl3anc 1326	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐶 ∈ (0[,]+∞) ↔ (0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ +∞)))
26	22, 25	mpbid 222	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → (0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ +∞))
27	26	simpld 475	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐶)
28		ge0nemnf 12004	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶) → 𝐶 ≠ -∞)
29	23, 27, 28	syl2anc 693	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐶 ≠ -∞)
30		xaddass 12079	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
31	3, 13, 15, 21, 23, 29, 30	syl222anc 1342	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650  0cc0 9936  +∞cpnf 10071  -∞cmnf 10072  ℝ^*cxr 10073   ≤ cle 10075   +_𝑒 cxad 11944  [,]cicc 12178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-addass 10001  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-xadd 11947  df-icc 12182

This theorem is referenced by:  inelcarsg  30373