Theorem xrge0addgt0 29691

Description: The sum of nonnegative and positive numbers is positive. See addgtge0 10516. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
xrge0addgt0	⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴 +𝑒 𝐵))

Proof of Theorem xrge0addgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 10086	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		xaddid1 12072	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 0) = 0)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (0 +𝑒 0) = 0
4		simplr 792	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐴)
5		simpr 477	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
6	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 0 ∈ ℝ*)
7		iccssxr 12256	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
8		simplll 798	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
9	7, 8	sseldi 3601	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
10		simpllr 799	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
11	7, 10	sseldi 3601	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
12		xlt2add 12090	. . . . 5 ⊢ (((0 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*)) → ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → (0 +𝑒 0) < (𝐴 +𝑒 𝐵)))
13	6, 6, 9, 11, 12	syl22anc 1327	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → (0 +𝑒 0) < (𝐴 +𝑒 𝐵)))
14	4, 5, 13	mp2and 715	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → (0 +𝑒 0) < (𝐴 +𝑒 𝐵))
15	3, 14	syl5eqbrr 4689	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐴 +𝑒 𝐵))
16		simplr 792	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 = 𝐵) → 0 < 𝐴)
17		oveq2 6658	. . . . . 6 ⊢ (0 = 𝐵 → (𝐴 +𝑒 0) = (𝐴 +𝑒 𝐵))
18	17	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 = 𝐵) → (𝐴 +𝑒 0) = (𝐴 +𝑒 𝐵))
19	18	breq2d 4665	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 = 𝐵) → (0 < (𝐴 +𝑒 0) ↔ 0 < (𝐴 +𝑒 𝐵)))
20		simplll 798	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 = 𝐵) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
21	7, 20	sseldi 3601	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
22		xaddid1 12072	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
23	21, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 = 𝐵) → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
24	23	breq2d 4665	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 = 𝐵) → (0 < (𝐴 +𝑒 0) ↔ 0 < 𝐴))
25	19, 24	bitr3d 270	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 = 𝐵) → (0 < (𝐴 +𝑒 𝐵) ↔ 0 < 𝐴))
26	16, 25	mpbird 247	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 = 𝐵) → 0 < (𝐴 +𝑒 𝐵))
27	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ*)
28		simplr 792	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
29	7, 28	sseldi 3601	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
30		pnfxr 10092	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
31	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) → +∞ ∈ ℝ*)
32		iccgelb 12230	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐵)
33	27, 31, 28, 32	syl3anc 1326	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
34		xrleloe 11977	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (0 ≤ 𝐵 ↔ (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵)))
35	34	biimpa 501	. . 3 ⊢ (((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 0 ≤ 𝐵) → (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵))
36	27, 29, 33, 35	syl21anc 1325	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) → (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵))
37	15, 26, 36	mpjaodan 827	1 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴 +𝑒 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 383   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650  0cc0 9936  +∞cpnf 10071  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074   ≤ cle 10075   +_𝑒 cxad 11944  [,]cicc 12178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-icc 12182

This theorem is referenced by:  xrge0adddir  29692