bernneq - Intuitionistic Logic Explorer

	Intuitionistic Logic Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > bernneq		Unicode version

Theorem bernneq 9593

Description: Bernoulli's inequality, due to Johan Bernoulli (1667-1748). (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)

**Assertion**
Ref	Expression
bernneq	$/\$ $/\$

Proof of Theorem bernneq Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5540	. . . . . . . 8
2	1	oveq2d 5548	. . . . . . 7
3		oveq2 5540	. . . . . . 7
4	2, 3	breq12d 3798	. . . . . 6
5	4	imbi2d 228	. . . . 5 $/\$ $/\$
6		oveq2 5540	. . . . . . . 8
7	6	oveq2d 5548	. . . . . . 7
8		oveq2 5540	. . . . . . 7
9	7, 8	breq12d 3798	. . . . . 6
10	9	imbi2d 228	. . . . 5 $/\$ $/\$
11		oveq2 5540	. . . . . . . 8
12	11	oveq2d 5548	. . . . . . 7
13		oveq2 5540	. . . . . . 7
14	12, 13	breq12d 3798	. . . . . 6
15	14	imbi2d 228	. . . . 5 $/\$ $/\$
16		oveq2 5540	. . . . . . . 8
17	16	oveq2d 5548	. . . . . . 7
18		oveq2 5540	. . . . . . 7
19	17, 18	breq12d 3798	. . . . . 6
20	19	imbi2d 228	. . . . 5 $/\$ $/\$
21		recn 7106	. . . . . . 7
22		mul01 7493	. . . . . . . . . 10
23	22	oveq2d 5548	. . . . . . . . 9
24		1p0e1 8154	. . . . . . . . 9
25	23, 24	syl6eq 2129	. . . . . . . 8
26		1le1 7672	. . . . . . . . 9
27		ax-1cn 7069	. . . . . . . . . . 11
28		addcl 7098	. . . . . . . . . . 11 $/\$
29	27, 28	mpan 414	. . . . . . . . . 10
30		exp0 9480	. . . . . . . . . 10
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . 9
32	26, 31	syl5breqr 3821	. . . . . . . 8
33	25, 32	eqbrtrd 3805	. . . . . . 7
34	21, 33	syl 14	. . . . . 6
35	34	adantr 270	. . . . 5 $/\$
36		1re 7118	. . . . . . . . . . . . . 14
37		nn0re 8297	. . . . . . . . . . . . . . 15
38		remulcl 7101	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
39	37, 38	sylan2 280	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
40		readdcl 7099	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
41	36, 39, 40	sylancr 405	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
42		simpl 107	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
43		readdcl 7099	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
44	41, 42, 43	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
45	44	adantr 270	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
46		readdcl 7099	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
47	36, 46	mpan 414	. . . . . . . . . . . . . 14
48	47	adantr 270	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
49	41, 48	remulcld 7149	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
50	49	adantr 270	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
51		reexpcl 9493	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
52	47, 51	sylan 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
53	52, 48	remulcld 7149	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
54	53	adantr 270	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
55		remulcl 7101	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
56	55	anidms 389	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
57		msqge0 7716	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
58	56, 57	jca 300	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
59		nn0ge0 8313	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
60	37, 59	jca 300	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
61		mulge0 7719	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
62	58, 60, 61	syl2an 283	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
63	21	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
64		nn0cn 8298	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
65	64	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
66	63, 63, 65	mul32d 7261	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
67	62, 66	breqtrd 3809	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
68		simpl 107	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
69	38, 68	remulcld 7149	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
70	37, 69	sylan2 280	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
71	44, 70	addge01d 7633	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
72	67, 71	mpbid 145	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
73		mulcl 7100	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
74		addcl 7098	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
75	27, 73, 74	sylancr 405	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
76		simpl 107	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
77	73, 76	mulcld 7139	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
78	75, 76, 77	addassd 7141	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
79		muladd11 7241	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
80	73, 76, 79	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
81	78, 80	eqtr4d 2116	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
82	21, 64, 81	syl2an 283	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
83	72, 82	breqtrd 3809	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
84	83	adantr 270	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
85	41	adantr 270	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
86	52	adantr 270	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
87	48	adantr 270	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
88		neg1rr 8145	. . . . . . . . . . . . . . . 16
89		leadd2 7535	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
90	88, 36, 89	mp3an13 1259	. . . . . . . . . . . . . . 15
91		1pneg1e0 8150	. . . . . . . . . . . . . . . 16
92	91	breq1i 3792	. . . . . . . . . . . . . . 15
93	90, 92	syl6bb 194	. . . . . . . . . . . . . 14
94	93	biimpa 290	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
95	94	ad2ant2r 492	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
96		simprr 498	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
97	85, 86, 87, 95, 96	lemul1ad 8017	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
98	45, 50, 54, 84, 97	letrd 7233	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
99		adddi 7105	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
100	27, 99	mp3an3 1257	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
101		mulid1 7116	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
102	101	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
103	102	oveq2d 5548	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
104	100, 103	eqtrd 2113	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
105	104	oveq2d 5548	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
106		addass 7103	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
107	27, 106	mp3an1 1255	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
108	73, 76, 107	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
109	105, 108	eqtr4d 2116	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
110	21, 64, 109	syl2an 283	. . . . . . . . . . 11 $/\$
111	110	adantr 270	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
112	27, 21, 28	sylancr 405	. . . . . . . . . . . 12
113		expp1 9483	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
114	112, 113	sylan 277	. . . . . . . . . . 11 $/\$
115	114	adantr 270	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
116	98, 111, 115	3brtr4d 3815	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
117	116	exp43 364	. . . . . . . 8
118	117	com12 30	. . . . . . 7
119	118	impd 251	. . . . . 6 $/\$
120	119	a2d 26	. . . . 5 $/\$ $/\$
121	5, 10, 15, 20, 35, 120	nn0ind 8461	. . . 4 $/\$
122	121	expd 254	. . 3
123	122	com12 30	. 2
124	123	3imp 1132	1 $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 102

wb 103 $/\$ w3a 919

wceq 1284

wcel 1433 class class class wbr 3785 (class class class)co 5532

cc 6979

cr 6980

cc0 6981

c1 6982

caddc 6984

cmul 6986

cle 7154

cneg 7280

cn0 8288

cexp 9475

This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 104 ax-ia2 105 ax-ia3 106 ax-in1 576 ax-in2 577 ax-io 662 ax-5 1376 ax-7 1377 ax-gen 1378 ax-ie1 1422 ax-ie2 1423 ax-8 1435 ax-10 1436 ax-11 1437 ax-i12 1438 ax-bndl 1439 ax-4 1440 ax-13 1444 ax-14 1445 ax-17 1459 ax-i9 1463 ax-ial 1467 ax-i5r 1468 ax-ext 2063 ax-coll 3893 ax-sep 3896 ax-nul 3904 ax-pow 3948 ax-pr 3964 ax-un 4188 ax-setind 4280 ax-iinf 4329 ax-cnex 7067 ax-resscn 7068 ax-1cn 7069 ax-1re 7070 ax-icn 7071 ax-addcl 7072 ax-addrcl 7073 ax-mulcl 7074 ax-mulrcl 7075 ax-addcom 7076 ax-mulcom 7077 ax-addass 7078 ax-mulass 7079 ax-distr 7080 ax-i2m1 7081 ax-0lt1 7082 ax-1rid 7083 ax-0id 7084 ax-rnegex 7085 ax-precex 7086 ax-cnre 7087 ax-pre-ltirr 7088 ax-pre-ltwlin 7089 ax-pre-lttrn 7090 ax-pre-apti 7091 ax-pre-ltadd 7092 ax-pre-mulgt0 7093 ax-pre-mulext 7094

This theorem depends on definitions: df-bi 115 df-dc 776 df-3or 920 df-3an 921 df-tru 1287 df-fal 1290 df-nf 1390 df-sb 1686 df-eu 1944 df-mo 1945 df-clab 2068 df-cleq 2074 df-clel 2077 df-nfc 2208 df-ne 2246 df-nel 2340 df-ral 2353 df-rex 2354 df-reu 2355 df-rmo 2356 df-rab 2357 df-v 2603 df-sbc 2816 df-csb 2909 df-dif 2975 df-un 2977 df-in 2979 df-ss 2986 df-nul 3252 df-if 3352 df-pw 3384 df-sn 3404 df-pr 3405 df-op 3407 df-uni 3602 df-int 3637 df-iun 3680 df-br 3786 df-opab 3840 df-mpt 3841 df-tr 3876 df-id 4048 df-po 4051 df-iso 4052 df-iord 4121 df-on 4123 df-suc 4126 df-iom 4332 df-xp 4369 df-rel 4370 df-cnv 4371 df-co 4372 df-dm 4373 df-rn 4374 df-res 4375 df-ima 4376 df-iota 4887 df-fun 4924 df-fn 4925 df-f 4926 df-f1 4927 df-fo 4928 df-f1o 4929 df-fv 4930 df-riota 5488 df-ov 5535 df-oprab 5536 df-mpt2 5537 df-1st 5787 df-2nd 5788 df-recs 5943 df-frec 6001 df-pnf 7155 df-mnf 7156 df-xr 7157 df-ltxr 7158 df-le 7159 df-sub 7281 df-neg 7282 df-reap 7675 df-ap 7682 df-div 7761 df-inn 8040 df-n0 8289 df-z 8352 df-uz 8620 df-iseq 9432 df-iexp 9476

This theorem is referenced by: bernneq2 9594

W3C validator