Theorem bernneq2 9594

Description: Variation of Bernoulli's inequality bernneq 9593. (Contributed by NM, 18-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
bernneq2	|- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 <_ A ) -> ( ( ( A - 1 ) x. N ) + 1 ) <_ ( A ^ N ) )

Proof of Theorem bernneq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2rem 7375	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( A - 1 ) e. RR )
2	1	3ad2ant1 959	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 <_ A ) -> ( A - 1 ) e. RR )
3		simp2 939	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 <_ A ) -> N e. NN0 )
4		df-neg 7282	. . . . 5 |- -u 1 = ( 0 - 1 )
5		0re 7119	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
6		1re 7118	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
7		lesub1 7560	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( 0 <_ A <-> ( 0 - 1 ) <_ ( A - 1 ) ) )
8	5, 6, 7	mp3an13 1259	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( 0 <_ A <-> ( 0 - 1 ) <_ ( A - 1 ) ) )
9	8	biimpa 290	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( 0 - 1 ) <_ ( A - 1 ) )
10	4, 9	syl5eqbr 3818	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> -u 1 <_ ( A - 1 ) )
11	10	3adant2 957	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 <_ A ) -> -u 1 <_ ( A - 1 ) )
12		bernneq 9593	. . 3 |- ( ( ( A - 1 ) e. RR /\ N e. NN0 /\ -u 1 <_ ( A - 1 ) ) -> ( 1 + ( ( A - 1 ) x. N ) ) <_ ( ( 1 + ( A - 1 ) ) ^ N ) )
13	2, 3, 11, 12	syl3anc 1169	. 2 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 <_ A ) -> ( 1 + ( ( A - 1 ) x. N ) ) <_ ( ( 1 + ( A - 1 ) ) ^ N ) )
14		ax-1cn 7069	. . . 4 |- 1 e. CC
15	1	recnd 7147	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( A - 1 ) e. CC )
16		nn0cn 8298	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> N e. CC )
17		mulcl 7100	. . . . 5 |- ( ( ( A - 1 ) e. CC /\ N e. CC ) -> ( ( A - 1 ) x. N ) e. CC )
18	15, 16, 17	syl2an 283	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 ) -> ( ( A - 1 ) x. N ) e. CC )
19		addcom 7245	. . . 4 |- ( ( 1 e. CC /\ ( ( A - 1 ) x. N ) e. CC ) -> ( 1 + ( ( A - 1 ) x. N ) ) = ( ( ( A - 1 ) x. N ) + 1 ) )
20	14, 18, 19	sylancr 405	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 ) -> ( 1 + ( ( A - 1 ) x. N ) ) = ( ( ( A - 1 ) x. N ) + 1 ) )
21	20	3adant3 958	. 2 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 <_ A ) -> ( 1 + ( ( A - 1 ) x. N ) ) = ( ( ( A - 1 ) x. N ) + 1 ) )
22		recn 7106	. . . . 5 |- ( A e. RR -> A e. CC )
23		pncan3 7316	. . . . 5 |- ( ( 1 e. CC /\ A e. CC ) -> ( 1 + ( A - 1 ) ) = A )
24	14, 22, 23	sylancr 405	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( 1 + ( A - 1 ) ) = A )
25	24	oveq1d 5547	. . 3 |- ( A e. RR -> ( ( 1 + ( A - 1 ) ) ^ N ) = ( A ^ N ) )
26	25	3ad2ant1 959	. 2 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 <_ A ) -> ( ( 1 + ( A - 1 ) ) ^ N ) = ( A ^ N ) )
27	13, 21, 26	3brtr3d 3814	1 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 <_ A ) -> ( ( ( A - 1 ) x. N ) + 1 ) <_ ( A ^ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   /\ w3a 919   = wceq 1284   e. wcel 1433   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532   CCcc 6979   RRcr 6980   0cc0 6981   1c1 6982   + caddc 6984   x. cmul 6986   <_ cle 7154   - cmin 7279   -ucneg 7280   NN0cn0 8288   ^cexp 9475

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-if 3352  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-iseq 9432  df-iexp 9476

This theorem is referenced by:  bernneq3  9595  expnbnd  9596