Theorem binom3 9590

Description: The cube of a binomial. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
binom3	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) ^ 3 ) = ( ( ( A ^ 3 ) + ( 3 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) + ( ( 3 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) ) )

Proof of Theorem binom3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 8099	. . . 4 |- 3 = ( 2 + 1 )
2	1	oveq2i 5543	. . 3 |- ( ( A + B ) ^ 3 ) = ( ( A + B ) ^ ( 2 + 1 ) )
3		addcl 7098	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) e. CC )
4		2nn0 8305	. . . 4 |- 2 e. NN0
5		expp1 9483	. . . 4 |- ( ( ( A + B ) e. CC /\ 2 e. NN0 ) -> ( ( A + B ) ^ ( 2 + 1 ) ) = ( ( ( A + B ) ^ 2 ) x. ( A + B ) ) )
6	3, 4, 5	sylancl 404	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) ^ ( 2 + 1 ) ) = ( ( ( A + B ) ^ 2 ) x. ( A + B ) ) )
7	2, 6	syl5eq 2125	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) ^ 3 ) = ( ( ( A + B ) ^ 2 ) x. ( A + B ) ) )
8		sqcl 9537	. . . . 5 |- ( ( A + B ) e. CC -> ( ( A + B ) ^ 2 ) e. CC )
9	3, 8	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) ^ 2 ) e. CC )
10		simpl 107	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> A e. CC )
11		simpr 108	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
12	9, 10, 11	adddid 7143	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A + B ) ^ 2 ) x. ( A + B ) ) = ( ( ( ( A + B ) ^ 2 ) x. A ) + ( ( ( A + B ) ^ 2 ) x. B ) ) )
13		binom2 9585	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) ^ 2 ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) )
14	13	oveq1d 5547	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A + B ) ^ 2 ) x. A ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) x. A ) )
15		sqcl 9537	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( A ^ 2 ) e. CC )
16	10, 15	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A ^ 2 ) e. CC )
17		2cn 8110	. . . . . . . 8 |- 2 e. CC
18		mulcl 7100	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. B ) e. CC )
19		mulcl 7100	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. CC /\ ( A x. B ) e. CC ) -> ( 2 x. ( A x. B ) ) e. CC )
20	17, 18, 19	sylancr 405	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( A x. B ) ) e. CC )
21	16, 20	addcld 7138	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) e. CC )
22		sqcl 9537	. . . . . . 7 |- ( B e. CC -> ( B ^ 2 ) e. CC )
23	11, 22	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B ^ 2 ) e. CC )
24	21, 23, 10	adddird 7144	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) x. A ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) x. A ) + ( ( B ^ 2 ) x. A ) ) )
25	16, 20, 10	adddird 7144	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) x. A ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. A ) + ( ( 2 x. ( A x. B ) ) x. A ) ) )
26	1	oveq2i 5543	. . . . . . . . 9 |- ( A ^ 3 ) = ( A ^ ( 2 + 1 ) )
27		expp1 9483	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ 2 e. NN0 ) -> ( A ^ ( 2 + 1 ) ) = ( ( A ^ 2 ) x. A ) )
28	10, 4, 27	sylancl 404	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A ^ ( 2 + 1 ) ) = ( ( A ^ 2 ) x. A ) )
29	26, 28	syl5eq 2125	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A ^ 3 ) = ( ( A ^ 2 ) x. A ) )
30		sqval 9534	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. CC -> ( A ^ 2 ) = ( A x. A ) )
31	10, 30	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A ^ 2 ) = ( A x. A ) )
32	31	oveq1d 5547	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A ^ 2 ) x. B ) = ( ( A x. A ) x. B ) )
33	10, 10, 11	mul32d 7261	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A x. A ) x. B ) = ( ( A x. B ) x. A ) )
34	32, 33	eqtrd 2113	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A ^ 2 ) x. B ) = ( ( A x. B ) x. A ) )
35	34	oveq2d 5548	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) = ( 2 x. ( ( A x. B ) x. A ) ) )
36		2cnd 8112	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 2 e. CC )
37	36, 18, 10	mulassd 7142	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 2 x. ( A x. B ) ) x. A ) = ( 2 x. ( ( A x. B ) x. A ) ) )
38	35, 37	eqtr4d 2116	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) = ( ( 2 x. ( A x. B ) ) x. A ) )
39	29, 38	oveq12d 5550	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A ^ 3 ) + ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. A ) + ( ( 2 x. ( A x. B ) ) x. A ) ) )
40	25, 39	eqtr4d 2116	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) x. A ) = ( ( A ^ 3 ) + ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) )
41	23, 10	mulcomd 7140	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( B ^ 2 ) x. A ) = ( A x. ( B ^ 2 ) ) )
42	40, 41	oveq12d 5550	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) x. A ) + ( ( B ^ 2 ) x. A ) ) = ( ( ( A ^ 3 ) + ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) + ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) )
43	14, 24, 42	3eqtrd 2117	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A + B ) ^ 2 ) x. A ) = ( ( ( A ^ 3 ) + ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) + ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) )
44	13	oveq1d 5547	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A + B ) ^ 2 ) x. B ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) x. B ) )
45	21, 23, 11	adddird 7144	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) x. B ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) x. B ) + ( ( B ^ 2 ) x. B ) ) )
46		sqval 9534	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. CC -> ( B ^ 2 ) = ( B x. B ) )
47	11, 46	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B ^ 2 ) = ( B x. B ) )
48	47	oveq2d 5548	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. ( B ^ 2 ) ) = ( A x. ( B x. B ) ) )
49	10, 11, 11	mulassd 7142	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A x. B ) x. B ) = ( A x. ( B x. B ) ) )
50	48, 49	eqtr4d 2116	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. ( B ^ 2 ) ) = ( ( A x. B ) x. B ) )
51	50	oveq2d 5548	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) = ( 2 x. ( ( A x. B ) x. B ) ) )
52	36, 18, 11	mulassd 7142	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 2 x. ( A x. B ) ) x. B ) = ( 2 x. ( ( A x. B ) x. B ) ) )
53	51, 52	eqtr4d 2116	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) = ( ( 2 x. ( A x. B ) ) x. B ) )
54	53	oveq2d 5548	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A ^ 2 ) x. B ) + ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. B ) + ( ( 2 x. ( A x. B ) ) x. B ) ) )
55	16, 20, 11	adddird 7144	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) x. B ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. B ) + ( ( 2 x. ( A x. B ) ) x. B ) ) )
56	54, 55	eqtr4d 2116	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A ^ 2 ) x. B ) + ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) x. B ) )
57	1	oveq2i 5543	. . . . . . . 8 |- ( B ^ 3 ) = ( B ^ ( 2 + 1 ) )
58		expp1 9483	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. CC /\ 2 e. NN0 ) -> ( B ^ ( 2 + 1 ) ) = ( ( B ^ 2 ) x. B ) )
59	11, 4, 58	sylancl 404	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B ^ ( 2 + 1 ) ) = ( ( B ^ 2 ) x. B ) )
60	57, 59	syl5eq 2125	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B ^ 3 ) = ( ( B ^ 2 ) x. B ) )
61	56, 60	oveq12d 5550	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( A ^ 2 ) x. B ) + ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) x. B ) + ( ( B ^ 2 ) x. B ) ) )
62	16, 11	mulcld 7139	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A ^ 2 ) x. B ) e. CC )
63	10, 23	mulcld 7139	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. ( B ^ 2 ) ) e. CC )
64		mulcl 7100	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. CC /\ ( A x. ( B ^ 2 ) ) e. CC ) -> ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) e. CC )
65	17, 63, 64	sylancr 405	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) e. CC )
66		3nn0 8306	. . . . . . . 8 |- 3 e. NN0
67		expcl 9494	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. CC /\ 3 e. NN0 ) -> ( B ^ 3 ) e. CC )
68	11, 66, 67	sylancl 404	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B ^ 3 ) e. CC )
69	62, 65, 68	addassd 7141	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( A ^ 2 ) x. B ) + ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. B ) + ( ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) ) )
70	61, 69	eqtr3d 2115	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) x. B ) + ( ( B ^ 2 ) x. B ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. B ) + ( ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) ) )
71	44, 45, 70	3eqtrd 2117	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A + B ) ^ 2 ) x. B ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. B ) + ( ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) ) )
72	43, 71	oveq12d 5550	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( A + B ) ^ 2 ) x. A ) + ( ( ( A + B ) ^ 2 ) x. B ) ) = ( ( ( ( A ^ 3 ) + ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) + ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( ( ( A ^ 2 ) x. B ) + ( ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) ) ) )
73		expcl 9494	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ 3 e. NN0 ) -> ( A ^ 3 ) e. CC )
74	10, 66, 73	sylancl 404	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A ^ 3 ) e. CC )
75		mulcl 7100	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. CC /\ ( ( A ^ 2 ) x. B ) e. CC ) -> ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) e. CC )
76	17, 62, 75	sylancr 405	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) e. CC )
77	74, 76	addcld 7138	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A ^ 3 ) + ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) e. CC )
78	65, 68	addcld 7138	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) e. CC )
79	77, 63, 62, 78	add4d 7277	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( A ^ 3 ) + ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) + ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( ( ( A ^ 2 ) x. B ) + ( ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) ) ) = ( ( ( ( A ^ 3 ) + ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) + ( ( A x. ( B ^ 2 ) ) + ( ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) ) ) )
80	12, 72, 79	3eqtrd 2117	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A + B ) ^ 2 ) x. ( A + B ) ) = ( ( ( ( A ^ 3 ) + ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) + ( ( A x. ( B ^ 2 ) ) + ( ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) ) ) )
81	74, 76, 62	addassd 7141	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A ^ 3 ) + ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) = ( ( A ^ 3 ) + ( ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) )
82	1	oveq1i 5542	. . . . . . 7 |- ( 3 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) = ( ( 2 + 1 ) x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) )
83		1cnd 7135	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 1 e. CC )
84	36, 83, 62	adddird 7144	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 2 + 1 ) x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) = ( ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) + ( 1 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) )
85	82, 84	syl5eq 2125	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 3 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) = ( ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) + ( 1 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) )
86	62	mulid2d 7137	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 1 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) = ( ( A ^ 2 ) x. B ) )
87	86	oveq2d 5548	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) + ( 1 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) = ( ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) )
88	85, 87	eqtrd 2113	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 3 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) = ( ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) )
89	88	oveq2d 5548	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A ^ 3 ) + ( 3 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) = ( ( A ^ 3 ) + ( ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) )
90	81, 89	eqtr4d 2116	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A ^ 3 ) + ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) = ( ( A ^ 3 ) + ( 3 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) )
91		1p2e3 8166	. . . . . . . 8 |- ( 1 + 2 ) = 3
92	91	oveq1i 5542	. . . . . . 7 |- ( ( 1 + 2 ) x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) = ( 3 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) )
93	83, 36, 63	adddird 7144	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 1 + 2 ) x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) = ( ( 1 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) ) )
94	92, 93	syl5eqr 2127	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 3 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) = ( ( 1 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) ) )
95	63	mulid2d 7137	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 1 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) = ( A x. ( B ^ 2 ) ) )
96	95	oveq1d 5547	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 1 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) ) = ( ( A x. ( B ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) ) )
97	94, 96	eqtrd 2113	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 3 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) = ( ( A x. ( B ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) ) )
98	97	oveq1d 5547	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 3 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) = ( ( ( A x. ( B ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) )
99	63, 65, 68	addassd 7141	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A x. ( B ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) = ( ( A x. ( B ^ 2 ) ) + ( ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) ) )
100	98, 99	eqtr2d 2114	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A x. ( B ^ 2 ) ) + ( ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) ) = ( ( 3 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) )
101	90, 100	oveq12d 5550	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( A ^ 3 ) + ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) + ( ( A x. ( B ^ 2 ) ) + ( ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) ) ) = ( ( ( A ^ 3 ) + ( 3 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) + ( ( 3 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) ) )
102	7, 80, 101	3eqtrd 2117	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) ^ 3 ) = ( ( ( A ^ 3 ) + ( 3 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) + ( ( 3 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1284   e. wcel 1433  (class class class)co 5532   CCcc 6979   1c1 6982   + caddc 6984   x. cmul 6986   2c2 8089   3c3 8090   NN0cn0 8288   ^cexp 9475

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-if 3352  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-2 8098  df-3 8099  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-iseq 9432  df-iexp 9476

This theorem is referenced by: (None)