Theorem caucvgsrlemasr 6966

Description: Lemma for caucvgsr 6978. The lower bound is a signed real. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jul-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
caucvgsrlemasr.bnd	|- ( ph -> A. m e. N. A <R ( F ` m ) )

Assertion

Ref	Expression
caucvgsrlemasr	|- ( ph -> A e. R. )

Distinct variable group:   A, m

Allowed substitution hints:   ph( m)   F( m)

Proof of Theorem caucvgsrlemasr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgsrlemasr.bnd	. . 3 |- ( ph -> A. m e. N. A <R ( F ` m ) )
2		ltrelsr 6915	. . . . . 6 |- <R C_ ( R. X. R. )
3	2	brel 4410	. . . . 5 |- ( A <R ( F ` m ) -> ( A e. R. /\ ( F ` m ) e. R. ) )
4	3	simpld 110	. . . 4 |- ( A <R ( F ` m ) -> A e. R. )
5	4	ralimi 2426	. . 3 |- ( A. m e. N. A <R ( F ` m ) -> A. m e. N. A e. R. )
6	1, 5	syl 14	. 2 |- ( ph -> A. m e. N. A e. R. )
7		1pi 6505	. . 3 |- 1o e. N.
8		elex2 2615	. . 3 |- ( 1o e. N. -> E. x x e. N. )
9		r19.3rmv 3332	. . 3 |- ( E. x x e. N. -> ( A e. R. <-> A. m e. N. A e. R. ) )
10	7, 8, 9	mp2b 8	. 2 |- ( A e. R. <-> A. m e. N. A e. R. )
11	6, 10	sylibr 132	1 |- ( ph -> A e. R. )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 103   E.wex 1421   e. wcel 1433   A.wral 2348   class class class wbr 3785   ` cfv 4922   1oc1o 6017   N.cnpi 6462   R.cnr 6487   <R cltr 6493

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-1o 6024  df-ni 6494  df-ltr 6907

This theorem is referenced by:  caucvgsrlemoffval  6972  caucvgsrlemofff  6973  caucvgsrlemoffcau  6974  caucvgsrlemoffgt1  6975  caucvgsrlemoffres  6976