Theorem 1pi 6505

Description: Ordinal 'one' is a positive integer. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1pi	|- 1o e. N.

Proof of Theorem 1pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6116	. 2 |- 1o e. om
2		1n0 6039	. 2 |- 1o =/= (/)
3		elni 6498	. 2 |- ( 1o e. N. <-> ( 1o e. om /\ 1o =/= (/) ) )
4	1, 2, 3	mpbir2an 883	1 |- 1o e. N.

Syntax hints:   e. wcel 1433   =/= wne 2245   (/)c0 3251   omcom 4331   1oc1o 6017   N.cnpi 6462

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-uni 3602  df-int 3637  df-suc 4126  df-iom 4332  df-1o 6024  df-ni 6494

This theorem is referenced by:  mulidpi  6508  1lt2pi  6530  nlt1pig  6531  indpi  6532  1nq  6556  1qec  6578  mulidnq  6579  1lt2nq  6596  archnqq  6607  prarloclemarch  6608  prarloclemarch2  6609  nnnq  6612  ltnnnq  6613  nq0m0r  6646  nq0a0  6647  addpinq1  6654  nq02m  6655  prarloclemlt  6683  prarloclemlo  6684  prarloclemn  6689  prarloclemcalc  6692  nqprm  6732  caucvgprlemm  6858  caucvgprprlemml  6884  caucvgprprlemmu  6885  caucvgsrlemasr  6966  caucvgsr  6978  nntopi  7060