Theorem caucvgsrlemoffres 6976

Description: Lemma for caucvgsr 6978. Offsetting the values of the sequence so they are greater than one. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgsr.f	|- ( ph -> F : N. --> R. )
caucvgsr.cau	|- ( ph -> A. n e. N. A. k e. N. ( n <N k -> ( ( F ` n ) <R ( ( F ` k ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) /\ ( F ` k ) <R ( ( F ` n ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) ) ) )
caucvgsrlembnd.bnd	|- ( ph -> A. m e. N. A <R ( F ` m ) )
caucvgsrlembnd.offset	|- G = ( a e. N. |-> ( ( ( F ` a ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) )

Assertion

Ref	Expression
caucvgsrlemoffres	|- ( ph -> E. y e. R. A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( y +R x ) /\ y <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, a, k   x, A, j, k   A, m, k   y, A, j, k, x   F, a, k   y, F   x, G, j, k   G, l, u, j, k   m, G, n, k   n, l, u   n, a, ph, k   ph, x, j   ph, m, n, a

Allowed substitution hints:   ph( y, u, l)   A( u, n, l)   F( x, u, j, m, n, l)   G( y, a)

Proof of Theorem caucvgsrlemoffres

Dummy variables i f g h z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgsr.f	. . . 4 |- ( ph -> F : N. --> R. )
2		caucvgsr.cau	. . . 4 |- ( ph -> A. n e. N. A. k e. N. ( n <N k -> ( ( F ` n ) <R ( ( F ` k ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) /\ ( F ` k ) <R ( ( F ` n ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) ) ) )
3		caucvgsrlembnd.bnd	. . . 4 |- ( ph -> A. m e. N. A <R ( F ` m ) )
4		caucvgsrlembnd.offset	. . . 4 |- G = ( a e. N. |-> ( ( ( F ` a ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) )
5	1, 2, 3, 4	caucvgsrlemofff 6973	. . 3 |- ( ph -> G : N. --> R. )
6	1, 2, 3, 4	caucvgsrlemoffcau 6974	. . 3 |- ( ph -> A. n e. N. A. k e. N. ( n <N k -> ( ( G ` n ) <R ( ( G ` k ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) /\ ( G ` k ) <R ( ( G ` n ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) ) ) )
7	1, 2, 3, 4	caucvgsrlemoffgt1 6975	. . 3 |- ( ph -> A. m e. N. 1R <R ( G ` m ) )
8	5, 6, 7	caucvgsrlemgt1 6971	. 2 |- ( ph -> E. z e. R. A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. i e. N. ( j <N i -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) ) ) )
9		simprl 497	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( z e. R. /\ A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. i e. N. ( j <N i -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) ) ) ) ) -> z e. R. )
10	3	caucvgsrlemasr 6966	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. R. )
11	10	adantr 270	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( z e. R. /\ A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. i e. N. ( j <N i -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) ) ) ) ) -> A e. R. )
12		addclsr 6930	. . . . 5 |- ( ( z e. R. /\ A e. R. ) -> ( z +R A ) e. R. )
13	9, 11, 12	syl2anc 403	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( z e. R. /\ A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. i e. N. ( j <N i -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) ) ) ) ) -> ( z +R A ) e. R. )
14		m1r 6929	. . . 4 |- -1R e. R.
15		addclsr 6930	. . . 4 |- ( ( ( z +R A ) e. R. /\ -1R e. R. ) -> ( ( z +R A ) +R -1R ) e. R. )
16	13, 14, 15	sylancl 404	. . 3 |- ( ( ph /\ ( z e. R. /\ A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. i e. N. ( j <N i -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) ) ) ) ) -> ( ( z +R A ) +R -1R ) e. R. )
17		ltasrg 6947	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) -> ( f <R g <-> ( h +R f ) <R ( h +R g ) ) )
18	17	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) /\ ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) ) -> ( f <R g <-> ( h +R f ) <R ( h +R g ) ) )
19	5	ad3antrrr 475	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> G : N. --> R. )
20		simpr 108	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> i e. N. )
21	19, 20	ffvelrnd 5324	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( G ` i ) e. R. )
22		simpllr 500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> z e. R. )
23		simplr 496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> x e. R. )
24		addclsr 6930	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. R. /\ x e. R. ) -> ( z +R x ) e. R. )
25	22, 23, 24	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( z +R x ) e. R. )
26	10	ad3antrrr 475	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> A e. R. )
27		addcomsrg 6932	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. ) -> ( f +R g ) = ( g +R f ) )
28	27	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) /\ ( f e. R. /\ g e. R. ) ) -> ( f +R g ) = ( g +R f ) )
29	18, 21, 25, 26, 28	caovord2d 5690	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) <-> ( ( G ` i ) +R A ) <R ( ( z +R x ) +R A ) ) )
30	1, 2, 3, 4	caucvgsrlemoffval 6972	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. N. ) -> ( ( G ` i ) +R A ) = ( ( F ` i ) +R 1R ) )
31	30	adantlr 460	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( G ` i ) +R A ) = ( ( F ` i ) +R 1R ) )
32	31	adantlr 460	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( G ` i ) +R A ) = ( ( F ` i ) +R 1R ) )
33	32	breq1d 3795	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( G ` i ) +R A ) <R ( ( z +R x ) +R A ) <-> ( ( F ` i ) +R 1R ) <R ( ( z +R x ) +R A ) ) )
34	29, 33	bitrd 186	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) <-> ( ( F ` i ) +R 1R ) <R ( ( z +R x ) +R A ) ) )
35		addasssrg 6933	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) -> ( ( f +R g ) +R h ) = ( f +R ( g +R h ) ) )
36	35	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) /\ ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) ) -> ( ( f +R g ) +R h ) = ( f +R ( g +R h ) ) )
37	22, 23, 26, 28, 36	caov32d 5701	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( z +R x ) +R A ) = ( ( z +R A ) +R x ) )
38	37	breq2d 3797	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( F ` i ) +R 1R ) <R ( ( z +R x ) +R A ) <-> ( ( F ` i ) +R 1R ) <R ( ( z +R A ) +R x ) ) )
39	1	ad2antrr 471	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) -> F : N. --> R. )
40	39	ffvelrnda 5323	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( F ` i ) e. R. )
41		1sr 6928	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1R e. R.
42		addclsr 6930	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F ` i ) e. R. /\ 1R e. R. ) -> ( ( F ` i ) +R 1R ) e. R. )
43	40, 41, 42	sylancl 404	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( F ` i ) +R 1R ) e. R. )
44	22, 26, 12	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( z +R A ) e. R. )
45		addclsr 6930	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( z +R A ) e. R. /\ x e. R. ) -> ( ( z +R A ) +R x ) e. R. )
46	44, 23, 45	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( z +R A ) +R x ) e. R. )
47	14	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> -1R e. R. )
48	18, 43, 46, 47, 28	caovord2d 5690	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( F ` i ) +R 1R ) <R ( ( z +R A ) +R x ) <-> ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R -1R ) <R ( ( ( z +R A ) +R x ) +R -1R ) ) )
49	41	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> 1R e. R. )
50		addasssrg 6933	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F ` i ) e. R. /\ 1R e. R. /\ -1R e. R. ) -> ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R -1R ) = ( ( F ` i ) +R ( 1R +R -1R ) ) )
51	40, 49, 47, 50	syl3anc 1169	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R -1R ) = ( ( F ` i ) +R ( 1R +R -1R ) ) )
52		addcomsrg 6932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 1R e. R. /\ -1R e. R. ) -> ( 1R +R -1R ) = ( -1R +R 1R ) )
53	41, 14, 52	mp2an 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 1R +R -1R ) = ( -1R +R 1R )
54		m1p1sr 6937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -1R +R 1R ) = 0R
55	53, 54	eqtri 2101	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1R +R -1R ) = 0R
56	55	oveq2i 5543	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F ` i ) +R ( 1R +R -1R ) ) = ( ( F ` i ) +R 0R )
57		0idsr 6944	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F ` i ) e. R. -> ( ( F ` i ) +R 0R ) = ( F ` i ) )
58	40, 57	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( F ` i ) +R 0R ) = ( F ` i ) )
59	56, 58	syl5eq 2125	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( F ` i ) +R ( 1R +R -1R ) ) = ( F ` i ) )
60	51, 59	eqtrd 2113	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R -1R ) = ( F ` i ) )
61	44, 23, 47, 28, 36	caov32d 5701	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( z +R A ) +R x ) +R -1R ) = ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) )
62	60, 61	breq12d 3798	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R -1R ) <R ( ( ( z +R A ) +R x ) +R -1R ) <-> ( F ` i ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) ) )
63	48, 62	bitrd 186	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( F ` i ) +R 1R ) <R ( ( z +R A ) +R x ) <-> ( F ` i ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) ) )
64	34, 38, 63	3bitrd 212	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) <-> ( F ` i ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) ) )
65	64	biimpd 142	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) -> ( F ` i ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) ) )
66		addclsr 6930	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( G ` i ) e. R. /\ x e. R. ) -> ( ( G ` i ) +R x ) e. R. )
67	21, 23, 66	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( G ` i ) +R x ) e. R. )
68	18, 22, 67, 26, 28	caovord2d 5690	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( z <R ( ( G ` i ) +R x ) <-> ( z +R A ) <R ( ( ( G ` i ) +R x ) +R A ) ) )
69	21, 23, 26, 28, 36	caov32d 5701	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( G ` i ) +R x ) +R A ) = ( ( ( G ` i ) +R A ) +R x ) )
70	32	oveq1d 5547	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( G ` i ) +R A ) +R x ) = ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) )
71	69, 70	eqtrd 2113	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( G ` i ) +R x ) +R A ) = ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) )
72	71	breq2d 3797	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( z +R A ) <R ( ( ( G ` i ) +R x ) +R A ) <-> ( z +R A ) <R ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) ) )
73	68, 72	bitrd 186	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( z <R ( ( G ` i ) +R x ) <-> ( z +R A ) <R ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) ) )
74		addclsr 6930	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F ` i ) +R 1R ) e. R. /\ x e. R. ) -> ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) e. R. )
75	43, 23, 74	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) e. R. )
76	18, 44, 75, 47, 28	caovord2d 5690	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( z +R A ) <R ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) <-> ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) +R -1R ) ) )
77	40, 49, 23, 28, 36	caov32d 5701	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) = ( ( ( F ` i ) +R x ) +R 1R ) )
78	77	oveq1d 5547	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) +R -1R ) = ( ( ( ( F ` i ) +R x ) +R 1R ) +R -1R ) )
79		addclsr 6930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( F ` i ) e. R. /\ x e. R. ) -> ( ( F ` i ) +R x ) e. R. )
80	40, 23, 79	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( F ` i ) +R x ) e. R. )
81		addasssrg 6933	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F ` i ) +R x ) e. R. /\ 1R e. R. /\ -1R e. R. ) -> ( ( ( ( F ` i ) +R x ) +R 1R ) +R -1R ) = ( ( ( F ` i ) +R x ) +R ( 1R +R -1R ) ) )
82	80, 49, 47, 81	syl3anc 1169	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( ( F ` i ) +R x ) +R 1R ) +R -1R ) = ( ( ( F ` i ) +R x ) +R ( 1R +R -1R ) ) )
83	78, 82	eqtrd 2113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) +R -1R ) = ( ( ( F ` i ) +R x ) +R ( 1R +R -1R ) ) )
84	55	oveq2i 5543	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F ` i ) +R x ) +R ( 1R +R -1R ) ) = ( ( ( F ` i ) +R x ) +R 0R )
85	83, 84	syl6eq 2129	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) +R -1R ) = ( ( ( F ` i ) +R x ) +R 0R ) )
86		0idsr 6944	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F ` i ) +R x ) e. R. -> ( ( ( F ` i ) +R x ) +R 0R ) = ( ( F ` i ) +R x ) )
87	80, 86	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( F ` i ) +R x ) +R 0R ) = ( ( F ` i ) +R x ) )
88	85, 87	eqtrd 2113	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) +R -1R ) = ( ( F ` i ) +R x ) )
89	88	breq2d 3797	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) +R -1R ) <-> ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` i ) +R x ) ) )
90	73, 76, 89	3bitrd 212	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( z <R ( ( G ` i ) +R x ) <-> ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` i ) +R x ) ) )
91	90	biimpd 142	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( z <R ( ( G ` i ) +R x ) -> ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` i ) +R x ) ) )
92	65, 91	anim12d 328	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) -> ( ( F ` i ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` i ) +R x ) ) ) )
93	92	imim2d 53	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( j <N i -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) ) -> ( j <N i -> ( ( F ` i ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` i ) +R x ) ) ) ) )
94	93	ralimdva 2429	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) -> ( A. i e. N. ( j <N i -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) ) -> A. i e. N. ( j <N i -> ( ( F ` i ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` i ) +R x ) ) ) ) )
95		breq2 3789	. . . . . . . . . 10 |- ( i = k -> ( j <N i <-> j <N k ) )
96		fveq2 5198	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = k -> ( F ` i ) = ( F ` k ) )
97	96	breq1d 3795	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = k -> ( ( F ` i ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) <-> ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) ) )
98	96	oveq1d 5547	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = k -> ( ( F ` i ) +R x ) = ( ( F ` k ) +R x ) )
99	98	breq2d 3797	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = k -> ( ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` i ) +R x ) <-> ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) )
100	97, 99	anbi12d 456	. . . . . . . . . 10 |- ( i = k -> ( ( ( F ` i ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` i ) +R x ) ) <-> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) )
101	95, 100	imbi12d 232	. . . . . . . . 9 |- ( i = k -> ( ( j <N i -> ( ( F ` i ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` i ) +R x ) ) ) <-> ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) )
102	101	cbvralv 2577	. . . . . . . 8 |- ( A. i e. N. ( j <N i -> ( ( F ` i ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` i ) +R x ) ) ) <-> A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) )
103	94, 102	syl6ib 159	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) -> ( A. i e. N. ( j <N i -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) ) -> A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) )
104	103	reximdv 2462	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) -> ( E. j e. N. A. i e. N. ( j <N i -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) ) -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) )
105	104	imim2d 53	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) -> ( ( 0R <R x -> E. j e. N. A. i e. N. ( j <N i -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) ) ) -> ( 0R <R x -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) ) )
106	105	ralimdva 2429	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. R. ) -> ( A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. i e. N. ( j <N i -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) ) ) -> A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) ) )
107	106	impr 371	. . 3 |- ( ( ph /\ ( z e. R. /\ A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. i e. N. ( j <N i -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) ) ) ) ) -> A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) )
108		oveq1 5539	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( ( z +R A ) +R -1R ) -> ( y +R x ) = ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) )
109	108	breq2d 3797	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( ( z +R A ) +R -1R ) -> ( ( F ` k ) <R ( y +R x ) <-> ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) ) )
110		breq1 3788	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( ( z +R A ) +R -1R ) -> ( y <R ( ( F ` k ) +R x ) <-> ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) )
111	109, 110	anbi12d 456	. . . . . . . 8 |- ( y = ( ( z +R A ) +R -1R ) -> ( ( ( F ` k ) <R ( y +R x ) /\ y <R ( ( F ` k ) +R x ) ) <-> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) )
112	111	imbi2d 228	. . . . . . 7 |- ( y = ( ( z +R A ) +R -1R ) -> ( ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( y +R x ) /\ y <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) <-> ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) )
113	112	rexralbidv 2392	. . . . . 6 |- ( y = ( ( z +R A ) +R -1R ) -> ( E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( y +R x ) /\ y <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) <-> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) )
114	113	imbi2d 228	. . . . 5 |- ( y = ( ( z +R A ) +R -1R ) -> ( ( 0R <R x -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( y +R x ) /\ y <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) <-> ( 0R <R x -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) ) )
115	114	ralbidv 2368	. . . 4 |- ( y = ( ( z +R A ) +R -1R ) -> ( A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( y +R x ) /\ y <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) <-> A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) ) )
116	115	rspcev 2701	. . 3 |- ( ( ( ( z +R A ) +R -1R ) e. R. /\ A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) ) -> E. y e. R. A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( y +R x ) /\ y <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) )
117	16, 107, 116	syl2anc 403	. 2 |- ( ( ph /\ ( z e. R. /\ A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. i e. N. ( j <N i -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) ) ) ) ) -> E. y e. R. A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( y +R x ) /\ y <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) )
118	8, 117	rexlimddv 2481	1 |- ( ph -> E. y e. R. A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( y +R x ) /\ y <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   /\ w3a 919   = wceq 1284   e. wcel 1433   {cab 2067   A.wral 2348   E.wrex 2349   <.cop 3401   class class class wbr 3785   |-> cmpt 3839   -->wf 4918   ` cfv 4922  (class class class)co 5532   1oc1o 6017   [cec 6127   N.cnpi 6462   <N clti 6465   ~Q ceq 6469   *Qcrq 6474   <Q cltq 6475   1Pc1p 6482   +P. cpp 6483   ~R cer 6486   R.cnr 6487   0Rc0r 6488   1Rc1r 6489   -1Rcm1r 6490   +R cplr 6491   .R cmr 6492   <R cltr 6493

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-eprel 4044  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-irdg 5980  df-1o 6024  df-2o 6025  df-oadd 6028  df-omul 6029  df-er 6129  df-ec 6131  df-qs 6135  df-ni 6494  df-pli 6495  df-mi 6496  df-lti 6497  df-plpq 6534  df-mpq 6535  df-enq 6537  df-nqqs 6538  df-plqqs 6539  df-mqqs 6540  df-1nqqs 6541  df-rq 6542  df-ltnqqs 6543  df-enq0 6614  df-nq0 6615  df-0nq0 6616  df-plq0 6617  df-mq0 6618  df-inp 6656  df-i1p 6657  df-iplp 6658  df-imp 6659  df-iltp 6660  df-enr 6903  df-nr 6904  df-plr 6905  df-mr 6906  df-ltr 6907  df-0r 6908  df-1r 6909  df-m1r 6910

This theorem is referenced by:  caucvgsrlembnd  6977