Theorem eceq1 6164

Description: Equality theorem for equivalence class. (Contributed by NM, 23-Jul-1995.)

Assertion

Ref	Expression
eceq1	|- ( A = B -> [ A ] C = [ B ] C )

Proof of Theorem eceq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 3409	. . 3 |- ( A = B -> { A } = { B } )
2	1	imaeq2d 4688	. 2 |- ( A = B -> ( C " { A } ) = ( C " { B } ) )
3		df-ec 6131	. 2 |- [ A ] C = ( C " { A } )
4		df-ec 6131	. 2 |- [ B ] C = ( C " { B } )
5	2, 3, 4	3eqtr4g 2138	1 |- ( A = B -> [ A ] C = [ B ] C )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1284   {csn 3398   "cima 4366   [cec 6127

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-br 3786  df-opab 3840  df-xp 4369  df-cnv 4371  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-ec 6131

This theorem is referenced by:  eceq1d  6165  ecelqsg  6182  snec  6190  qliftfun  6211  qliftfuns  6213  qliftval  6215  ecoptocl  6216  eroveu  6220  th3qlem1  6231  th3qlem2  6232  th3q  6234  dmaddpqlem  6567  nqpi  6568  1qec  6578  nqnq0  6631  nq0nn  6632  mulnnnq0  6640  addpinq1  6654  caucvgsrlemfv  6967  caucvgsr  6978  pitonnlem1  7013  axcaucvg  7066