Theorem elsucg 4159

Description: Membership in a successor. Exercise 5 of [TakeutiZaring] p. 17. (Contributed by NM, 15-Sep-1995.)

Assertion

Ref	Expression
elsucg	|- ( A e. V -> ( A e. suc B <-> ( A e. B \/ A = B ) ) )

Proof of Theorem elsucg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-suc 4126	. . . 4 |- suc B = ( B u. { B } )
2	1	eleq2i 2145	. . 3 |- ( A e. suc B <-> A e. ( B u. { B } ) )
3		elun 3113	. . 3 |- ( A e. ( B u. { B } ) <-> ( A e. B \/ A e. { B } ) )
4	2, 3	bitri 182	. 2 |- ( A e. suc B <-> ( A e. B \/ A e. { B } ) )
5		elsng 3413	. . 3 |- ( A e. V -> ( A e. { B } <-> A = B ) )
6	5	orbi2d 736	. 2 |- ( A e. V -> ( ( A e. B \/ A e. { B } ) <-> ( A e. B \/ A = B ) ) )
7	4, 6	syl5bb 190	1 |- ( A e. V -> ( A e. suc B <-> ( A e. B \/ A = B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 103   \/ wo 661   = wceq 1284   e. wcel 1433   u. cun 2971   {csn 3398   suc csuc 4120

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-v 2603  df-un 2977  df-sn 3404  df-suc 4126

This theorem is referenced by:  elsuc  4161  elelsuc  4164  sucidg  4171  onsucelsucr  4252  onsucsssucexmid  4270  suc11g  4300  nlt1pig  6531  bj-peano4  10750