Theorem f1dom2g 6259

Description: The domain of a one-to-one function is dominated by its codomain. This variation of f1domg 6261 does not require the Axiom of Replacement. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
f1dom2g	|- ( ( A e. V /\ B e. W /\ F : A -1-1-> B ) -> A ~<_ B )

Proof of Theorem f1dom2g

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1f 5112	. . . . 5 |- ( F : A -1-1-> B -> F : A --> B )
2		fex2 5079	. . . . 5 |- ( ( F : A --> B /\ A e. V /\ B e. W ) -> F e. _V )
3	1, 2	syl3an1 1202	. . . 4 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ A e. V /\ B e. W ) -> F e. _V )
4	3	3coml 1145	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ F : A -1-1-> B ) -> F e. _V )
5		simp3 940	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ F : A -1-1-> B ) -> F : A -1-1-> B )
6		f1eq1 5107	. . . 4 |- ( f = F -> ( f : A -1-1-> B <-> F : A -1-1-> B ) )
7	6	spcegv 2686	. . 3 |- ( F e. _V -> ( F : A -1-1-> B -> E. f f : A -1-1-> B ) )
8	4, 5, 7	sylc 61	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ F : A -1-1-> B ) -> E. f f : A -1-1-> B )
9		brdomg 6252	. . 3 |- ( B e. W -> ( A ~<_ B <-> E. f f : A -1-1-> B ) )
10	9	3ad2ant2 960	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ F : A -1-1-> B ) -> ( A ~<_ B <-> E. f f : A -1-1-> B ) )
11	8, 10	mpbird 165	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ F : A -1-1-> B ) -> A ~<_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 103   /\ w3a 919   E.wex 1421   e. wcel 1433   _Vcvv 2601   class class class wbr 3785   -->wf 4918   -1-1->wf1 4919   ~<_ cdom 6243

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-dom 6246

This theorem is referenced by:  ssdomg  6281