Theorem ssdomg 6281

Description: A set dominates its subsets. Theorem 16 of [Suppes] p. 94. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssdomg	|- ( B e. V -> ( A C_ B -> A ~<_ B ) )

Proof of Theorem ssdomg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssexg 3917	. . 3 |- ( ( A C_ B /\ B e. V ) -> A e. _V )
2		simpr 108	. . 3 |- ( ( A C_ B /\ B e. V ) -> B e. V )
3		f1oi 5184	. . . . . . . . . 10 |- ( _I |` A ) : A -1-1-onto-> A
4		dff1o3 5152	. . . . . . . . . 10 |- ( ( _I |` A ) : A -1-1-onto-> A <-> ( ( _I |` A ) : A -onto-> A /\ Fun `' ( _I |` A ) ) )
5	3, 4	mpbi 143	. . . . . . . . 9 |- ( ( _I |` A ) : A -onto-> A /\ Fun `' ( _I |` A ) )
6	5	simpli 109	. . . . . . . 8 |- ( _I |` A ) : A -onto-> A
7		fof 5126	. . . . . . . 8 |- ( ( _I |` A ) : A -onto-> A -> ( _I |` A ) : A --> A )
8	6, 7	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- ( _I |` A ) : A --> A
9		fss 5074	. . . . . . 7 |- ( ( ( _I |` A ) : A --> A /\ A C_ B ) -> ( _I |` A ) : A --> B )
10	8, 9	mpan 414	. . . . . 6 |- ( A C_ B -> ( _I |` A ) : A --> B )
11		funi 4952	. . . . . . . 8 |- Fun _I
12		cnvi 4748	. . . . . . . . 9 |- `' _I = _I
13	12	funeqi 4942	. . . . . . . 8 |- ( Fun `' _I <-> Fun _I )
14	11, 13	mpbir 144	. . . . . . 7 |- Fun `' _I
15		funres11 4991	. . . . . . 7 |- ( Fun `' _I -> Fun `' ( _I |` A ) )
16	14, 15	ax-mp 7	. . . . . 6 |- Fun `' ( _I |` A )
17	10, 16	jctir 306	. . . . 5 |- ( A C_ B -> ( ( _I |` A ) : A --> B /\ Fun `' ( _I |` A ) ) )
18		df-f1 4927	. . . . 5 |- ( ( _I |` A ) : A -1-1-> B <-> ( ( _I |` A ) : A --> B /\ Fun `' ( _I |` A ) ) )
19	17, 18	sylibr 132	. . . 4 |- ( A C_ B -> ( _I |` A ) : A -1-1-> B )
20	19	adantr 270	. . 3 |- ( ( A C_ B /\ B e. V ) -> ( _I |` A ) : A -1-1-> B )
21		f1dom2g 6259	. . 3 |- ( ( A e. _V /\ B e. V /\ ( _I |` A ) : A -1-1-> B ) -> A ~<_ B )
22	1, 2, 20, 21	syl3anc 1169	. 2 |- ( ( A C_ B /\ B e. V ) -> A ~<_ B )
23	22	expcom 114	1 |- ( B e. V -> ( A C_ B -> A ~<_ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   e. wcel 1433   _Vcvv 2601   C_ wss 2973   class class class wbr 3785   _I cid 4043   `'ccnv 4362   |` cres 4365   Fun wfun 4916   -->wf 4918   -1-1->wf1 4919   -onto->wfo 4920   -1-1-onto->wf1o 4921   ~<_ cdom 6243

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-dom 6246

This theorem is referenced by:  xpdom3m  6331  phplem4dom  6348  nndomo  6350  phpm  6351  domfiexmid  6363