Theorem f1eqcocnv 5451

Description: Condition for function equality in terms of vanishing of the composition with the inverse. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
f1eqcocnv	|- ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) -> ( F = G <-> ( `' F o. G ) = ( _I |` A ) ) )

Proof of Theorem f1eqcocnv

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1cocnv1 5176	. . . 4 |- ( F : A -1-1-> B -> ( `' F o. F ) = ( _I |` A ) )
2		coeq2 4512	. . . . 5 |- ( F = G -> ( `' F o. F ) = ( `' F o. G ) )
3	2	eqeq1d 2089	. . . 4 |- ( F = G -> ( ( `' F o. F ) = ( _I |` A ) <-> ( `' F o. G ) = ( _I |` A ) ) )
4	1, 3	syl5ibcom 153	. . 3 |- ( F : A -1-1-> B -> ( F = G -> ( `' F o. G ) = ( _I |` A ) ) )
5	4	adantr 270	. 2 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) -> ( F = G -> ( `' F o. G ) = ( _I |` A ) ) )
6		f1fn 5113	. . . . . . 7 |- ( G : A -1-1-> B -> G Fn A )
7	6	adantl 271	. . . . . 6 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) -> G Fn A )
8	7	adantr 270	. . . . 5 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ ( `' F o. G ) = ( _I |` A ) ) -> G Fn A )
9		f1fn 5113	. . . . . . 7 |- ( F : A -1-1-> B -> F Fn A )
10	9	adantr 270	. . . . . 6 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) -> F Fn A )
11	10	adantr 270	. . . . 5 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ ( `' F o. G ) = ( _I |` A ) ) -> F Fn A )
12		equid 1629	. . . . . . . . . 10 |- x = x
13		resieq 4640	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. A /\ x e. A ) -> ( x ( _I |` A ) x <-> x = x ) )
14	12, 13	mpbiri 166	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A /\ x e. A ) -> x ( _I |` A ) x )
15	14	anidms 389	. . . . . . . 8 |- ( x e. A -> x ( _I |` A ) x )
16	15	adantl 271	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ ( `' F o. G ) = ( _I |` A ) ) /\ x e. A ) -> x ( _I |` A ) x )
17		breq 3787	. . . . . . . 8 |- ( ( `' F o. G ) = ( _I |` A ) -> ( x ( `' F o. G ) x <-> x ( _I |` A ) x ) )
18	17	ad2antlr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ ( `' F o. G ) = ( _I |` A ) ) /\ x e. A ) -> ( x ( `' F o. G ) x <-> x ( _I |` A ) x ) )
19	16, 18	mpbird 165	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ ( `' F o. G ) = ( _I |` A ) ) /\ x e. A ) -> x ( `' F o. G ) x )
20		vex 2604	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
21	20, 20	brco 4524	. . . . . . . . 9 |- ( x ( `' F o. G ) x <-> E. y ( x G y /\ y `' F x ) )
22		fnfun 5016	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( G Fn A -> Fun G )
23	7, 22	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) -> Fun G )
24	23	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> Fun G )
25		fndm 5018	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( G Fn A -> dom G = A )
26	7, 25	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) -> dom G = A )
27	26	eleq2d 2148	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) -> ( x e. dom G <-> x e. A ) )
28	27	biimpar 291	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> x e. dom G )
29		funopfvb 5238	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Fun G /\ x e. dom G ) -> ( ( G ` x ) = y <-> <. x , y >. e. G ) )
30	24, 28, 29	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> ( ( G ` x ) = y <-> <. x , y >. e. G ) )
31	30	bicomd 139	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> ( <. x , y >. e. G <-> ( G ` x ) = y ) )
32		df-br 3786	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x G y <-> <. x , y >. e. G )
33		eqcom 2083	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( G ` x ) <-> ( G ` x ) = y )
34	31, 32, 33	3bitr4g 221	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> ( x G y <-> y = ( G ` x ) ) )
35	34	biimpd 142	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> ( x G y -> y = ( G ` x ) ) )
36		fnfun 5016	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F Fn A -> Fun F )
37	10, 36	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) -> Fun F )
38	37	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> Fun F )
39		fndm 5018	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F Fn A -> dom F = A )
40	10, 39	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) -> dom F = A )
41	40	eleq2d 2148	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) -> ( x e. dom F <-> x e. A ) )
42	41	biimpar 291	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> x e. dom F )
43		funopfvb 5238	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( ( F ` x ) = y <-> <. x , y >. e. F ) )
44	38, 42, 43	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> ( ( F ` x ) = y <-> <. x , y >. e. F ) )
45		df-br 3786	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x F y <-> <. x , y >. e. F )
46	44, 45	syl6rbbr 197	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> ( x F y <-> ( F ` x ) = y ) )
47		vex 2604	. . . . . . . . . . . . . 14 |- y e. _V
48	47, 20	brcnv 4536	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y `' F x <-> x F y )
49		eqcom 2083	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( F ` x ) <-> ( F ` x ) = y )
50	46, 48, 49	3bitr4g 221	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> ( y `' F x <-> y = ( F ` x ) ) )
51	50	biimpd 142	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> ( y `' F x -> y = ( F ` x ) ) )
52	35, 51	anim12d 328	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> ( ( x G y /\ y `' F x ) -> ( y = ( G ` x ) /\ y = ( F ` x ) ) ) )
53	52	eximdv 1801	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> ( E. y ( x G y /\ y `' F x ) -> E. y ( y = ( G ` x ) /\ y = ( F ` x ) ) ) )
54	21, 53	syl5bi 150	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> ( x ( `' F o. G ) x -> E. y ( y = ( G ` x ) /\ y = ( F ` x ) ) ) )
55	6	anim1i 333	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G : A -1-1-> B /\ x e. A ) -> ( G Fn A /\ x e. A ) )
56	55	adantll 459	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> ( G Fn A /\ x e. A ) )
57		funfvex 5212	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun G /\ x e. dom G ) -> ( G ` x ) e. _V )
58	57	funfni 5019	. . . . . . . . 9 |- ( ( G Fn A /\ x e. A ) -> ( G ` x ) e. _V )
59		eqvincg 2719	. . . . . . . . 9 |- ( ( G ` x ) e. _V -> ( ( G ` x ) = ( F ` x ) <-> E. y ( y = ( G ` x ) /\ y = ( F ` x ) ) ) )
60	56, 58, 59	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> ( ( G ` x ) = ( F ` x ) <-> E. y ( y = ( G ` x ) /\ y = ( F ` x ) ) ) )
61	54, 60	sylibrd 167	. . . . . . 7 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> ( x ( `' F o. G ) x -> ( G ` x ) = ( F ` x ) ) )
62	61	adantlr 460	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ ( `' F o. G ) = ( _I |` A ) ) /\ x e. A ) -> ( x ( `' F o. G ) x -> ( G ` x ) = ( F ` x ) ) )
63	19, 62	mpd 13	. . . . 5 |- ( ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ ( `' F o. G ) = ( _I |` A ) ) /\ x e. A ) -> ( G ` x ) = ( F ` x ) )
64	8, 11, 63	eqfnfvd 5289	. . . 4 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ ( `' F o. G ) = ( _I |` A ) ) -> G = F )
65	64	eqcomd 2086	. . 3 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ ( `' F o. G ) = ( _I |` A ) ) -> F = G )
66	65	ex 113	. 2 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) -> ( ( `' F o. G ) = ( _I |` A ) -> F = G ) )
67	5, 66	impbid 127	1 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) -> ( F = G <-> ( `' F o. G ) = ( _I |` A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1284   E.wex 1421   e. wcel 1433   _Vcvv 2601   <.cop 3401   class class class wbr 3785   _I cid 4043   `'ccnv 4362   dom cdm 4363   |` cres 4365   o. ccom 4367   Fun wfun 4916   Fn wfn 4917   -1-1->wf1 4919   ` cfv 4922

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930

This theorem is referenced by: (None)