Theorem f1ocnvfv 5439

Description: Relationship between the value of a one-to-one onto function and the value of its converse. (Contributed by Raph Levien, 10-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnvfv	|- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A ) -> ( ( F ` C ) = D -> ( `' F ` D ) = C ) )

Proof of Theorem f1ocnvfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5198	. . 3 |- ( D = ( F ` C ) -> ( `' F ` D ) = ( `' F ` ( F ` C ) ) )
2	1	eqcoms 2084	. 2 |- ( ( F ` C ) = D -> ( `' F ` D ) = ( `' F ` ( F ` C ) ) )
3		f1ocnvfv1 5437	. . 3 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A ) -> ( `' F ` ( F ` C ) ) = C )
4	3	eqeq2d 2092	. 2 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A ) -> ( ( `' F ` D ) = ( `' F ` ( F ` C ) ) <-> ( `' F ` D ) = C ) )
5	2, 4	syl5ib 152	1 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A ) -> ( ( F ` C ) = D -> ( `' F ` D ) = C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1284   e. wcel 1433   `'ccnv 4362   -1-1-onto->wf1o 4921   ` cfv 4922

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-sbc 2816  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930

This theorem is referenced by:  f1ocnvfvb  5440  f1oiso2  5486  frecuzrdgfn  9414  frecuzrdgsuc  9417  frecfzennn  9419  sqpweven  10553  2sqpwodd  10554