2sqpwodd - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem 2sqpwodd 10554

Description: The greatest power of two dividing twice the square of an integer is an odd power of two. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Nov-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
oddpwdc.j
oddpwdc.f

**Assertion**
Ref	Expression
2sqpwodd

Distinct variable groups:

Allowed substitution hint:

(

)

**Proof of Theorem 2sqpwodd**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddpwdc.j	. . . . . . . . 9
2		oddpwdc.f	. . . . . . . . 9
3	1, 2	oddpwdc 10552	. . . . . . . 8
4		f1ocnv 5159	. . . . . . . 8
5		f1of 5146	. . . . . . . 8
6	3, 4, 5	mp2b 8	. . . . . . 7
7	6	ffvelrni 5322	. . . . . 6
8		xp2nd 5813	. . . . . 6
9	7, 8	syl 14	. . . . 5
10	9	nn0zd 8467	. . . 4
11		2nn 8193	. . . . . 6
12	11	a1i 9	. . . . 5
13	12	nnzd 8468	. . . 4
14	10, 13	zmulcld 8475	. . 3
15		dvdsmul2 10218	. . . 4 $/\$
16	10, 13, 15	syl2anc 403	. . 3
17		oddp1even 10275	. . . . 5
18	17	biimprd 156	. . . 4
19	18	con2d 586	. . 3
20	14, 16, 19	sylc 61	. 2
21		xp1st 5812	. . . . . . . . . . 11
22	7, 21	syl 14	. . . . . . . . . 10
23		breq2 3789	. . . . . . . . . . . . 13
24	23	notbid 624	. . . . . . . . . . . 12
25	24, 1	elrab2 2751	. . . . . . . . . . 11 $/\$
26	25	simplbi 268	. . . . . . . . . 10
27	22, 26	syl 14	. . . . . . . . 9
28	27	nnsqcld 9626	. . . . . . . 8
29	25	simprbi 269	. . . . . . . . . . 11
30	22, 29	syl 14	. . . . . . . . . 10
31		2prm 10509	. . . . . . . . . . 11
32	27	nnzd 8468	. . . . . . . . . . 11
33		euclemma 10525	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\/$
34		oridm 706	. . . . . . . . . . . 12 $\/$
35	33, 34	syl6bb 194	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
36	31, 32, 32, 35	mp3an2i 1273	. . . . . . . . . 10
37	30, 36	mtbird 630	. . . . . . . . 9
38	27	nncnd 8053	. . . . . . . . . . 11
39	38	sqvald 9602	. . . . . . . . . 10
40	39	breq2d 3797	. . . . . . . . 9
41	37, 40	mtbird 630	. . . . . . . 8
42		breq2 3789	. . . . . . . . . 10
43	42	notbid 624	. . . . . . . . 9
44	43, 1	elrab2 2751	. . . . . . . 8 $/\$
45	28, 41, 44	sylanbrc 408	. . . . . . 7
46	12	nnnn0d 8341	. . . . . . . . 9
47	9, 46	nn0mulcld 8346	. . . . . . . 8
48		peano2nn0 8328	. . . . . . . 8
49	47, 48	syl 14	. . . . . . 7
50		opelxp 4392	. . . . . . 7 $/\$
51	45, 49, 50	sylanbrc 408	. . . . . 6
52	12	nncnd 8053	. . . . . . . . . . 11
53	52, 47	expp1d 9606	. . . . . . . . . 10
54	52, 47	expcld 9605	. . . . . . . . . . 11
55	54, 52	mulcomd 7140	. . . . . . . . . 10
56	52, 46, 9	expmuld 9608	. . . . . . . . . . 11
57	56	oveq2d 5548	. . . . . . . . . 10
58	53, 55, 57	3eqtrd 2117	. . . . . . . . 9
59	58	oveq1d 5547	. . . . . . . 8
60	12, 49	nnexpcld 9627	. . . . . . . . . 10
61	60, 28	nnmulcld 8087	. . . . . . . . 9
62		oveq2 5540	. . . . . . . . . 10
63		oveq2 5540	. . . . . . . . . . 11
64	63	oveq1d 5547	. . . . . . . . . 10
65	62, 64, 2	ovmpt2g 5655	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
66	45, 49, 61, 65	syl3anc 1169	. . . . . . . 8
67		f1ocnvfv2 5438	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
68	3, 67	mpan 414	. . . . . . . . . . . . . . 15
69		1st2nd2 5821	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
70	7, 69	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16
71	70	fveq2d 5202	. . . . . . . . . . . . . . 15
72	68, 71	eqtr3d 2115	. . . . . . . . . . . . . 14
73		df-ov 5535	. . . . . . . . . . . . . 14
74	72, 73	syl6eqr 2131	. . . . . . . . . . . . 13
75	12, 9	nnexpcld 9627	. . . . . . . . . . . . . . 15
76	75, 27	nnmulcld 8087	. . . . . . . . . . . . . 14
77		oveq2 5540	. . . . . . . . . . . . . . 15
78		oveq2 5540	. . . . . . . . . . . . . . . 16
79	78	oveq1d 5547	. . . . . . . . . . . . . . 15
80	77, 79, 2	ovmpt2g 5655	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
81	22, 9, 76, 80	syl3anc 1169	. . . . . . . . . . . . 13
82	74, 81	eqtrd 2113	. . . . . . . . . . . 12
83	82	oveq1d 5547	. . . . . . . . . . 11
84	75	nncnd 8053	. . . . . . . . . . . 12
85	84, 38	sqmuld 9617	. . . . . . . . . . 11
86	83, 85	eqtrd 2113	. . . . . . . . . 10
87	86	oveq2d 5548	. . . . . . . . 9
88	56, 54	eqeltrrd 2156	. . . . . . . . . 10
89	28	nncnd 8053	. . . . . . . . . 10
90	52, 88, 89	mulassd 7142	. . . . . . . . 9
91	87, 90	eqtr4d 2116	. . . . . . . 8
92	59, 66, 91	3eqtr4rd 2124	. . . . . . 7
93		df-ov 5535	. . . . . . 7
94	92, 93	syl6req 2130	. . . . . 6
95		f1ocnvfv 5439	. . . . . . 7 $/\$
96	3, 95	mpan 414	. . . . . 6
97	51, 94, 96	sylc 61	. . . . 5
98	97	fveq2d 5202	. . . 4
99		op2ndg 5798	. . . . 5 $/\$
100	45, 49, 99	syl2anc 403	. . . 4
101	98, 100	eqtrd 2113	. . 3
102	101	breq2d 3797	. 2
103	20, 102	mtbird 630	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 103 $\/$ wo 661 $/\$ w3a 919

wceq 1284

wcel 1433

crab 2352

cop 3401 class class class wbr 3785

cxp 4361

ccnv 4362

wf 4918

wf1o 4921

cfv 4922 (class class class)co 5532

cmpt2 5534

c1st 5785

c2nd 5786

cc 6979

c1 6982

caddc 6984

cmul 6986

cn 8039

c2 8089

cn0 8288

cz 8351

cexp 9475

cdvds 10195

cprime 10489

This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 104 ax-ia2 105 ax-ia3 106 ax-in1 576 ax-in2 577 ax-io 662 ax-5 1376 ax-7 1377 ax-gen 1378 ax-ie1 1422 ax-ie2 1423 ax-8 1435 ax-10 1436 ax-11 1437 ax-i12 1438 ax-bndl 1439 ax-4 1440 ax-13 1444 ax-14 1445 ax-17 1459 ax-i9 1463 ax-ial 1467 ax-i5r 1468 ax-ext 2063 ax-coll 3893 ax-sep 3896 ax-nul 3904 ax-pow 3948 ax-pr 3964 ax-un 4188 ax-setind 4280 ax-iinf 4329 ax-cnex 7067 ax-resscn 7068 ax-1cn 7069 ax-1re 7070 ax-icn 7071 ax-addcl 7072 ax-addrcl 7073 ax-mulcl 7074 ax-mulrcl 7075 ax-addcom 7076 ax-mulcom 7077 ax-addass 7078 ax-mulass 7079 ax-distr 7080 ax-i2m1 7081 ax-0lt1 7082 ax-1rid 7083 ax-0id 7084 ax-rnegex 7085 ax-precex 7086 ax-cnre 7087 ax-pre-ltirr 7088 ax-pre-ltwlin 7089 ax-pre-lttrn 7090 ax-pre-apti 7091 ax-pre-ltadd 7092 ax-pre-mulgt0 7093 ax-pre-mulext 7094 ax-arch 7095 ax-caucvg 7096

This theorem depends on definitions: df-bi 115 df-dc 776 df-3or 920 df-3an 921 df-tru 1287 df-fal 1290 df-xor 1307 df-nf 1390 df-sb 1686 df-eu 1944 df-mo 1945 df-clab 2068 df-cleq 2074 df-clel 2077 df-nfc 2208 df-ne 2246 df-nel 2340 df-ral 2353 df-rex 2354 df-reu 2355 df-rmo 2356 df-rab 2357 df-v 2603 df-sbc 2816 df-csb 2909 df-dif 2975 df-un 2977 df-in 2979 df-ss 2986 df-nul 3252 df-if 3352 df-pw 3384 df-sn 3404 df-pr 3405 df-op 3407 df-uni 3602 df-int 3637 df-iun 3680 df-br 3786 df-opab 3840 df-mpt 3841 df-tr 3876 df-id 4048 df-po 4051 df-iso 4052 df-iord 4121 df-on 4123 df-suc 4126 df-iom 4332 df-xp 4369 df-rel 4370 df-cnv 4371 df-co 4372 df-dm 4373 df-rn 4374 df-res 4375 df-ima 4376 df-iota 4887 df-fun 4924 df-fn 4925 df-f 4926 df-f1 4927 df-fo 4928 df-f1o 4929 df-fv 4930 df-riota 5488 df-ov 5535 df-oprab 5536 df-mpt2 5537 df-1st 5787 df-2nd 5788 df-recs 5943 df-frec 6001 df-1o 6024 df-2o 6025 df-er 6129 df-en 6245 df-sup 6397 df-pnf 7155 df-mnf 7156 df-xr 7157 df-ltxr 7158 df-le 7159 df-sub 7281 df-neg 7282 df-reap 7675 df-ap 7682 df-div 7761 df-inn 8040 df-2 8098 df-3 8099 df-4 8100 df-n0 8289 df-z 8352 df-uz 8620 df-q 8705 df-rp 8735 df-fz 9030 df-fzo 9153 df-fl 9274 df-mod 9325 df-iseq 9432 df-iexp 9476 df-cj 9729 df-re 9730 df-im 9731 df-rsqrt 9884 df-abs 9885 df-dvds 10196 df-gcd 10339 df-prm 10490

This theorem is referenced by: sqne2sq 10555

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