Theorem fo00 5182

Description: Onto mapping of the empty set. (Contributed by NM, 22-Mar-2006.)

Assertion

Ref	Expression
fo00	|- ( F : (/) -onto-> A <-> ( F = (/) /\ A = (/) ) )

Proof of Theorem fo00

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fofn 5128	. . . . . 6 |- ( F : (/) -onto-> A -> F Fn (/) )
2		fn0 5038	. . . . . . 7 |- ( F Fn (/) <-> F = (/) )
3		f10 5180	. . . . . . . 8 |- (/) : (/) -1-1-> A
4		f1eq1 5107	. . . . . . . 8 |- ( F = (/) -> ( F : (/) -1-1-> A <-> (/) : (/) -1-1-> A ) )
5	3, 4	mpbiri 166	. . . . . . 7 |- ( F = (/) -> F : (/) -1-1-> A )
6	2, 5	sylbi 119	. . . . . 6 |- ( F Fn (/) -> F : (/) -1-1-> A )
7	1, 6	syl 14	. . . . 5 |- ( F : (/) -onto-> A -> F : (/) -1-1-> A )
8	7	ancri 317	. . . 4 |- ( F : (/) -onto-> A -> ( F : (/) -1-1-> A /\ F : (/) -onto-> A ) )
9		df-f1o 4929	. . . 4 |- ( F : (/) -1-1-onto-> A <-> ( F : (/) -1-1-> A /\ F : (/) -onto-> A ) )
10	8, 9	sylibr 132	. . 3 |- ( F : (/) -onto-> A -> F : (/) -1-1-onto-> A )
11		f1ofo 5153	. . 3 |- ( F : (/) -1-1-onto-> A -> F : (/) -onto-> A )
12	10, 11	impbii 124	. 2 |- ( F : (/) -onto-> A <-> F : (/) -1-1-onto-> A )
13		f1o00 5181	. 2 |- ( F : (/) -1-1-onto-> A <-> ( F = (/) /\ A = (/) ) )
14	12, 13	bitri 182	1 |- ( F : (/) -onto-> A <-> ( F = (/) /\ A = (/) ) )

Syntax hints:   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1284   (/)c0 3251   Fn wfn 4917   -1-1->wf1 4919   -onto->wfo 4920   -1-1-onto->wf1o 4921

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929

This theorem is referenced by: (None)