Theorem frec2uzltd 9405

Description: Less-than relation for G (see frec2uz0d 9401). (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	|- ( ph -> C e. ZZ )
frec2uz.2	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
frec2uzzd.a	|- ( ph -> A e. om )
frec2uzltd.b	|- ( ph -> B e. om )

Assertion

Ref	Expression
frec2uzltd	|- ( ph -> ( A e. B -> ( G ` A ) < ( G ` B ) ) )

Distinct variable group:   x, C

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( x)   B( x)   G( x)

Proof of Theorem frec2uzltd

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uzltd.b	. 2 |- ( ph -> B e. om )
2		eleq2 2142	. . . . 5 |- ( z = (/) -> ( A e. z <-> A e. (/) ) )
3		fveq2 5198	. . . . . 6 |- ( z = (/) -> ( G ` z ) = ( G ` (/) ) )
4	3	breq2d 3797	. . . . 5 |- ( z = (/) -> ( ( G ` A ) < ( G ` z ) <-> ( G ` A ) < ( G ` (/) ) ) )
5	2, 4	imbi12d 232	. . . 4 |- ( z = (/) -> ( ( A e. z -> ( G ` A ) < ( G ` z ) ) <-> ( A e. (/) -> ( G ` A ) < ( G ` (/) ) ) ) )
6	5	imbi2d 228	. . 3 |- ( z = (/) -> ( ( ph -> ( A e. z -> ( G ` A ) < ( G ` z ) ) ) <-> ( ph -> ( A e. (/) -> ( G ` A ) < ( G ` (/) ) ) ) ) )
7		eleq2 2142	. . . . 5 |- ( z = y -> ( A e. z <-> A e. y ) )
8		fveq2 5198	. . . . . 6 |- ( z = y -> ( G ` z ) = ( G ` y ) )
9	8	breq2d 3797	. . . . 5 |- ( z = y -> ( ( G ` A ) < ( G ` z ) <-> ( G ` A ) < ( G ` y ) ) )
10	7, 9	imbi12d 232	. . . 4 |- ( z = y -> ( ( A e. z -> ( G ` A ) < ( G ` z ) ) <-> ( A e. y -> ( G ` A ) < ( G ` y ) ) ) )
11	10	imbi2d 228	. . 3 |- ( z = y -> ( ( ph -> ( A e. z -> ( G ` A ) < ( G ` z ) ) ) <-> ( ph -> ( A e. y -> ( G ` A ) < ( G ` y ) ) ) ) )
12		eleq2 2142	. . . . 5 |- ( z = suc y -> ( A e. z <-> A e. suc y ) )
13		fveq2 5198	. . . . . 6 |- ( z = suc y -> ( G ` z ) = ( G ` suc y ) )
14	13	breq2d 3797	. . . . 5 |- ( z = suc y -> ( ( G ` A ) < ( G ` z ) <-> ( G ` A ) < ( G ` suc y ) ) )
15	12, 14	imbi12d 232	. . . 4 |- ( z = suc y -> ( ( A e. z -> ( G ` A ) < ( G ` z ) ) <-> ( A e. suc y -> ( G ` A ) < ( G ` suc y ) ) ) )
16	15	imbi2d 228	. . 3 |- ( z = suc y -> ( ( ph -> ( A e. z -> ( G ` A ) < ( G ` z ) ) ) <-> ( ph -> ( A e. suc y -> ( G ` A ) < ( G ` suc y ) ) ) ) )
17		eleq2 2142	. . . . 5 |- ( z = B -> ( A e. z <-> A e. B ) )
18		fveq2 5198	. . . . . 6 |- ( z = B -> ( G ` z ) = ( G ` B ) )
19	18	breq2d 3797	. . . . 5 |- ( z = B -> ( ( G ` A ) < ( G ` z ) <-> ( G ` A ) < ( G ` B ) ) )
20	17, 19	imbi12d 232	. . . 4 |- ( z = B -> ( ( A e. z -> ( G ` A ) < ( G ` z ) ) <-> ( A e. B -> ( G ` A ) < ( G ` B ) ) ) )
21	20	imbi2d 228	. . 3 |- ( z = B -> ( ( ph -> ( A e. z -> ( G ` A ) < ( G ` z ) ) ) <-> ( ph -> ( A e. B -> ( G ` A ) < ( G ` B ) ) ) ) )
22		noel 3255	. . . . 5 |- -. A e. (/)
23	22	pm2.21i 607	. . . 4 |- ( A e. (/) -> ( G ` A ) < ( G ` (/) ) )
24	23	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( A e. (/) -> ( G ` A ) < ( G ` (/) ) ) )
25		id 19	. . . . . . 7 |- ( ( A e. y -> ( G ` A ) < ( G ` y ) ) -> ( A e. y -> ( G ` A ) < ( G ` y ) ) )
26		fveq2 5198	. . . . . . . 8 |- ( A = y -> ( G ` A ) = ( G ` y ) )
27	26	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( A e. y -> ( G ` A ) < ( G ` y ) ) -> ( A = y -> ( G ` A ) = ( G ` y ) ) )
28	25, 27	orim12d 732	. . . . . 6 |- ( ( A e. y -> ( G ` A ) < ( G ` y ) ) -> ( ( A e. y \/ A = y ) -> ( ( G ` A ) < ( G ` y ) \/ ( G ` A ) = ( G ` y ) ) ) )
29		elsuc2g 4160	. . . . . . . . 9 |- ( y e. om -> ( A e. suc y <-> ( A e. y \/ A = y ) ) )
30	29	bicomd 139	. . . . . . . 8 |- ( y e. om -> ( ( A e. y \/ A = y ) <-> A e. suc y ) )
31	30	adantr 270	. . . . . . 7 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> ( ( A e. y \/ A = y ) <-> A e. suc y ) )
32		frec2uz.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. ZZ )
33	32	adantl 271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> C e. ZZ )
34		frec2uz.2	. . . . . . . . . 10 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
35		simpl 107	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> y e. om )
36	33, 34, 35	frec2uzsucd 9403	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> ( G ` suc y ) = ( ( G ` y ) + 1 ) )
37	36	breq2d 3797	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> ( ( G ` A ) < ( G ` suc y ) <-> ( G ` A ) < ( ( G ` y ) + 1 ) ) )
38		frec2uzzd.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. om )
39	38	adantl 271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> A e. om )
40	33, 34, 39	frec2uzuzd 9404	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> ( G ` A ) e. ( ZZ>= ` C ) )
41	33, 34, 35	frec2uzuzd 9404	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> ( G ` y ) e. ( ZZ>= ` C ) )
42		eluzelz 8628	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G ` A ) e. ( ZZ>= ` C ) -> ( G ` A ) e. ZZ )
43		eluzelz 8628	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G ` y ) e. ( ZZ>= ` C ) -> ( G ` y ) e. ZZ )
44		zleltp1 8406	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G ` A ) e. ZZ /\ ( G ` y ) e. ZZ ) -> ( ( G ` A ) <_ ( G ` y ) <-> ( G ` A ) < ( ( G ` y ) + 1 ) ) )
45	42, 43, 44	syl2an 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G ` A ) e. ( ZZ>= ` C ) /\ ( G ` y ) e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( ( G ` A ) <_ ( G ` y ) <-> ( G ` A ) < ( ( G ` y ) + 1 ) ) )
46	40, 41, 45	syl2anc 403	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> ( ( G ` A ) <_ ( G ` y ) <-> ( G ` A ) < ( ( G ` y ) + 1 ) ) )
47	33, 34, 39	frec2uzzd 9402	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> ( G ` A ) e. ZZ )
48	33, 34, 35	frec2uzzd 9402	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> ( G ` y ) e. ZZ )
49		zleloe 8398	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G ` A ) e. ZZ /\ ( G ` y ) e. ZZ ) -> ( ( G ` A ) <_ ( G ` y ) <-> ( ( G ` A ) < ( G ` y ) \/ ( G ` A ) = ( G ` y ) ) ) )
50	47, 48, 49	syl2anc 403	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> ( ( G ` A ) <_ ( G ` y ) <-> ( ( G ` A ) < ( G ` y ) \/ ( G ` A ) = ( G ` y ) ) ) )
51	37, 46, 50	3bitr2rd 215	. . . . . . 7 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> ( ( ( G ` A ) < ( G ` y ) \/ ( G ` A ) = ( G ` y ) ) <-> ( G ` A ) < ( G ` suc y ) ) )
52	31, 51	imbi12d 232	. . . . . 6 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> ( ( ( A e. y \/ A = y ) -> ( ( G ` A ) < ( G ` y ) \/ ( G ` A ) = ( G ` y ) ) ) <-> ( A e. suc y -> ( G ` A ) < ( G ` suc y ) ) ) )
53	28, 52	syl5ib 152	. . . . 5 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> ( ( A e. y -> ( G ` A ) < ( G ` y ) ) -> ( A e. suc y -> ( G ` A ) < ( G ` suc y ) ) ) )
54	53	ex 113	. . . 4 |- ( y e. om -> ( ph -> ( ( A e. y -> ( G ` A ) < ( G ` y ) ) -> ( A e. suc y -> ( G ` A ) < ( G ` suc y ) ) ) ) )
55	54	a2d 26	. . 3 |- ( y e. om -> ( ( ph -> ( A e. y -> ( G ` A ) < ( G ` y ) ) ) -> ( ph -> ( A e. suc y -> ( G ` A ) < ( G ` suc y ) ) ) ) )
56	6, 11, 16, 21, 24, 55	finds 4341	. 2 |- ( B e. om -> ( ph -> ( A e. B -> ( G ` A ) < ( G ` B ) ) ) )
57	1, 56	mpcom 36	1 |- ( ph -> ( A e. B -> ( G ` A ) < ( G ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ wo 661   = wceq 1284   e. wcel 1433   (/)c0 3251   class class class wbr 3785   |-> cmpt 3839   suc csuc 4120   omcom 4331   ` cfv 4922  (class class class)co 5532  freccfrec 6000   1c1 6982   + caddc 6984   < clt 7153   <_ cle 7154   ZZcz 8351   ZZ>=cuz 8619

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-recs 5943  df-frec 6001  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620

This theorem is referenced by:  frec2uzlt2d  9406  frec2uzf1od  9408