Theorem frec2uzzd 9402

Description: The value of G (see frec2uz0d 9401) is an integer. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	|- ( ph -> C e. ZZ )
frec2uz.2	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
frec2uzzd.a	|- ( ph -> A e. om )

Assertion

Ref	Expression
frec2uzzd	|- ( ph -> ( G ` A ) e. ZZ )

Distinct variable group:   x, C

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( x)   G( x)

Proof of Theorem frec2uzzd

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uzzd.a	. 2 |- ( ph -> A e. om )
2		simpr 108	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w = A ) -> w = A )
3	2	eleq1d 2147	. . . 4 |- ( ( ph /\ w = A ) -> ( w e. om <-> A e. om ) )
4	2	fveq2d 5202	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w = A ) -> ( G ` w ) = ( G ` A ) )
5	4	eleq1d 2147	. . . 4 |- ( ( ph /\ w = A ) -> ( ( G ` w ) e. ZZ <-> ( G ` A ) e. ZZ ) )
6	3, 5	imbi12d 232	. . 3 |- ( ( ph /\ w = A ) -> ( ( w e. om -> ( G ` w ) e. ZZ ) <-> ( A e. om -> ( G ` A ) e. ZZ ) ) )
7		fveq2 5198	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( G ` w ) = ( G ` (/) ) )
8	7	eleq1d 2147	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( ( G ` w ) e. ZZ <-> ( G ` (/) ) e. ZZ ) )
9		fveq2 5198	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( G ` w ) = ( G ` y ) )
10	9	eleq1d 2147	. . . . 5 |- ( w = y -> ( ( G ` w ) e. ZZ <-> ( G ` y ) e. ZZ ) )
11		fveq2 5198	. . . . . 6 |- ( w = suc y -> ( G ` w ) = ( G ` suc y ) )
12	11	eleq1d 2147	. . . . 5 |- ( w = suc y -> ( ( G ` w ) e. ZZ <-> ( G ` suc y ) e. ZZ ) )
13		frec2uz.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. ZZ )
14		frec2uz.2	. . . . . . 7 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
15	13, 14	frec2uz0d 9401	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G ` (/) ) = C )
16	15, 13	eqeltrd 2155	. . . . 5 |- ( ph -> ( G ` (/) ) e. ZZ )
17		zex 8360	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ZZ e. _V
18	17	mptex 5408	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) e. _V
19		vex 2604	. . . . . . . . . . . . . 14 |- z e. _V
20	18, 19	fvex 5215	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` z ) e. _V
21	20	ax-gen 1378	. . . . . . . . . . . 12 |- A. z ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` z ) e. _V
22		frecsuc 6014	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. z ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` z ) e. _V /\ C e. ZZ /\ y e. om ) -> (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) ` suc y ) = ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) ` y ) ) )
23	21, 22	mp3an1 1255	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ZZ /\ y e. om ) -> (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) ` suc y ) = ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) ` y ) ) )
24	13, 23	sylan 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. om ) -> (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) ` suc y ) = ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) ` y ) ) )
25	14	fveq1i 5199	. . . . . . . . . 10 |- ( G ` suc y ) = (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) ` suc y )
26	14	fveq1i 5199	. . . . . . . . . . 11 |- ( G ` y ) = (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) ` y )
27	26	fveq2i 5201	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` ( G ` y ) ) = ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) ` y ) )
28	24, 25, 27	3eqtr4g 2138	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. om ) -> ( G ` suc y ) = ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` ( G ` y ) ) )
29		oveq1 5539	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( G ` y ) -> ( z + 1 ) = ( ( G ` y ) + 1 ) )
30		oveq1 5539	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( x + 1 ) = ( z + 1 ) )
31	30	cbvmptv 3873	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) = ( z e. ZZ |-> ( z + 1 ) )
32		peano2z 8387	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ZZ -> ( z + 1 ) e. ZZ )
33	29, 31, 32	fvmpt3 5272	. . . . . . . . 9 |- ( ( G ` y ) e. ZZ -> ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` ( G ` y ) ) = ( ( G ` y ) + 1 ) )
34	28, 33	sylan9eq 2133	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( G ` y ) e. ZZ ) -> ( G ` suc y ) = ( ( G ` y ) + 1 ) )
35		peano2z 8387	. . . . . . . . 9 |- ( ( G ` y ) e. ZZ -> ( ( G ` y ) + 1 ) e. ZZ )
36	35	adantl 271	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( G ` y ) e. ZZ ) -> ( ( G ` y ) + 1 ) e. ZZ )
37	34, 36	eqeltrd 2155	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( G ` y ) e. ZZ ) -> ( G ` suc y ) e. ZZ )
38	37	ex 113	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. om ) -> ( ( G ` y ) e. ZZ -> ( G ` suc y ) e. ZZ ) )
39	38	expcom 114	. . . . 5 |- ( y e. om -> ( ph -> ( ( G ` y ) e. ZZ -> ( G ` suc y ) e. ZZ ) ) )
40	8, 10, 12, 16, 39	finds2 4342	. . . 4 |- ( w e. om -> ( ph -> ( G ` w ) e. ZZ ) )
41	40	com12 30	. . 3 |- ( ph -> ( w e. om -> ( G ` w ) e. ZZ ) )
42	1, 6, 41	vtocld 2651	. 2 |- ( ph -> ( A e. om -> ( G ` A ) e. ZZ ) )
43	1, 42	mpd 13	1 |- ( ph -> ( G ` A ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   A.wal 1282   = wceq 1284   e. wcel 1433   _Vcvv 2601   (/)c0 3251   |-> cmpt 3839   suc csuc 4120   omcom 4331   ` cfv 4922  (class class class)co 5532  freccfrec 6000   1c1 6982   + caddc 6984   ZZcz 8351

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-recs 5943  df-frec 6001  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352

This theorem is referenced by:  frec2uzsucd  9403  frec2uzltd  9405  frec2uzlt2d  9406  frec2uzf1od  9408  frec2uzrdg  9411