Theorem ltposr 6940

Description: Signed real 'less than' is a partial order. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltposr	|- <R Po R.

Proof of Theorem ltposr

Dummy variables x y f g h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 6904	. . . . 5 |- R. = ( ( P. X. P. ) /. ~R )
2		id 19	. . . . . . 7 |- ( [ <. x , y >. ] ~R = f -> [ <. x , y >. ] ~R = f )
3	2, 2	breq12d 3798	. . . . . 6 |- ( [ <. x , y >. ] ~R = f -> ( [ <. x , y >. ] ~R <R [ <. x , y >. ] ~R <-> f <R f ) )
4	3	notbid 624	. . . . 5 |- ( [ <. x , y >. ] ~R = f -> ( -. [ <. x , y >. ] ~R <R [ <. x , y >. ] ~R <-> -. f <R f ) )
5		ltsopr 6786	. . . . . . . 8 |- <P Or P.
6		ltrelpr 6695	. . . . . . . 8 |- <P C_ ( P. X. P. )
7	5, 6	soirri 4739	. . . . . . 7 |- -. ( x +P. y ) <P ( x +P. y )
8		addcomprg 6768	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> ( x +P. y ) = ( y +P. x ) )
9	8	breq2d 3797	. . . . . . 7 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> ( ( x +P. y ) <P ( x +P. y ) <-> ( x +P. y ) <P ( y +P. x ) ) )
10	7, 9	mtbii 631	. . . . . 6 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> -. ( x +P. y ) <P ( y +P. x ) )
11		ltsrprg 6924	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( x e. P. /\ y e. P. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~R <R [ <. x , y >. ] ~R <-> ( x +P. y ) <P ( y +P. x ) ) )
12	11	anidms 389	. . . . . 6 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> ( [ <. x , y >. ] ~R <R [ <. x , y >. ] ~R <-> ( x +P. y ) <P ( y +P. x ) ) )
13	10, 12	mtbird 630	. . . . 5 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> -. [ <. x , y >. ] ~R <R [ <. x , y >. ] ~R )
14	1, 4, 13	ecoptocl 6216	. . . 4 |- ( f e. R. -> -. f <R f )
15	14	adantl 271	. . 3 |- ( ( T. /\ f e. R. ) -> -. f <R f )
16		lttrsr 6939	. . . 4 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) -> ( ( f <R g /\ g <R h ) -> f <R h ) )
17	16	adantl 271	. . 3 |- ( ( T. /\ ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) ) -> ( ( f <R g /\ g <R h ) -> f <R h ) )
18	15, 17	ispod 4059	. 2 |- ( T. -> <R Po R. )
19	18	trud 1293	1 |- <R Po R.

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   /\ w3a 919   = wceq 1284   T. wtru 1285   e. wcel 1433   <.cop 3401   class class class wbr 3785   Po wpo 4049  (class class class)co 5532   [cec 6127   P.cnp 6481   +P. cpp 6483   <P cltp 6485   ~R cer 6486   R.cnr 6487   <R cltr 6493

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-eprel 4044  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-irdg 5980  df-1o 6024  df-2o 6025  df-oadd 6028  df-omul 6029  df-er 6129  df-ec 6131  df-qs 6135  df-ni 6494  df-pli 6495  df-mi 6496  df-lti 6497  df-plpq 6534  df-mpq 6535  df-enq 6537  df-nqqs 6538  df-plqqs 6539  df-mqqs 6540  df-1nqqs 6541  df-rq 6542  df-ltnqqs 6543  df-enq0 6614  df-nq0 6615  df-0nq0 6616  df-plq0 6617  df-mq0 6618  df-inp 6656  df-iplp 6658  df-iltp 6660  df-enr 6903  df-nr 6904  df-ltr 6907

This theorem is referenced by:  ltsosr  6941