Theorem modmulconst 10227

Description: Constant multiplication in a modulo operation, see theorem 5.3 in [ApostolNT] p. 108. (Contributed by AV, 21-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modmulconst	|- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) /\ M e. NN ) -> ( ( A mod M ) = ( B mod M ) <-> ( ( C x. A ) mod ( C x. M ) ) = ( ( C x. B ) mod ( C x. M ) ) ) )

Proof of Theorem modmulconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 8370	. . . . 5 |- ( M e. NN -> M e. ZZ )
2	1	adantl 271	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) /\ M e. NN ) -> M e. ZZ )
3		zsubcl 8392	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A - B ) e. ZZ )
4	3	3adant3 958	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) -> ( A - B ) e. ZZ )
5	4	adantr 270	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) /\ M e. NN ) -> ( A - B ) e. ZZ )
6		nnz 8370	. . . . . . 7 |- ( C e. NN -> C e. ZZ )
7		nnne0 8067	. . . . . . 7 |- ( C e. NN -> C =/= 0 )
8	6, 7	jca 300	. . . . . 6 |- ( C e. NN -> ( C e. ZZ /\ C =/= 0 ) )
9	8	3ad2ant3 961	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) -> ( C e. ZZ /\ C =/= 0 ) )
10	9	adantr 270	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) /\ M e. NN ) -> ( C e. ZZ /\ C =/= 0 ) )
11		dvdscmulr 10224	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ ( A - B ) e. ZZ /\ ( C e. ZZ /\ C =/= 0 ) ) -> ( ( C x. M ) || ( C x. ( A - B ) ) <-> M || ( A - B ) ) )
12	11	bicomd 139	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ ( A - B ) e. ZZ /\ ( C e. ZZ /\ C =/= 0 ) ) -> ( M || ( A - B ) <-> ( C x. M ) || ( C x. ( A - B ) ) ) )
13	2, 5, 10, 12	syl3anc 1169	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) /\ M e. NN ) -> ( M || ( A - B ) <-> ( C x. M ) || ( C x. ( A - B ) ) ) )
14		zcn 8356	. . . . . . . 8 |- ( A e. ZZ -> A e. CC )
15		zcn 8356	. . . . . . . 8 |- ( B e. ZZ -> B e. CC )
16		nncn 8047	. . . . . . . 8 |- ( C e. NN -> C e. CC )
17	14, 15, 16	3anim123i 1123	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) -> ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) )
18		3anrot 924	. . . . . . 7 |- ( ( C e. CC /\ A e. CC /\ B e. CC ) <-> ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) )
19	17, 18	sylibr 132	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) -> ( C e. CC /\ A e. CC /\ B e. CC ) )
20		subdi 7489	. . . . . 6 |- ( ( C e. CC /\ A e. CC /\ B e. CC ) -> ( C x. ( A - B ) ) = ( ( C x. A ) - ( C x. B ) ) )
21	19, 20	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) -> ( C x. ( A - B ) ) = ( ( C x. A ) - ( C x. B ) ) )
22	21	adantr 270	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) /\ M e. NN ) -> ( C x. ( A - B ) ) = ( ( C x. A ) - ( C x. B ) ) )
23	22	breq2d 3797	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) /\ M e. NN ) -> ( ( C x. M ) || ( C x. ( A - B ) ) <-> ( C x. M ) || ( ( C x. A ) - ( C x. B ) ) ) )
24	13, 23	bitrd 186	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) /\ M e. NN ) -> ( M || ( A - B ) <-> ( C x. M ) || ( ( C x. A ) - ( C x. B ) ) ) )
25		simpr 108	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) /\ M e. NN ) -> M e. NN )
26		simp1 938	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) -> A e. ZZ )
27	26	adantr 270	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) /\ M e. NN ) -> A e. ZZ )
28		simp2 939	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) -> B e. ZZ )
29	28	adantr 270	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) /\ M e. NN ) -> B e. ZZ )
30		moddvds 10204	. . 3 |- ( ( M e. NN /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A mod M ) = ( B mod M ) <-> M || ( A - B ) ) )
31	25, 27, 29, 30	syl3anc 1169	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) /\ M e. NN ) -> ( ( A mod M ) = ( B mod M ) <-> M || ( A - B ) ) )
32		simpl3 943	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) /\ M e. NN ) -> C e. NN )
33	32, 25	nnmulcld 8087	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) /\ M e. NN ) -> ( C x. M ) e. NN )
34	6	3ad2ant3 961	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) -> C e. ZZ )
35	34, 26	zmulcld 8475	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) -> ( C x. A ) e. ZZ )
36	35	adantr 270	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) /\ M e. NN ) -> ( C x. A ) e. ZZ )
37	34, 28	zmulcld 8475	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) -> ( C x. B ) e. ZZ )
38	37	adantr 270	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) /\ M e. NN ) -> ( C x. B ) e. ZZ )
39		moddvds 10204	. . 3 |- ( ( ( C x. M ) e. NN /\ ( C x. A ) e. ZZ /\ ( C x. B ) e. ZZ ) -> ( ( ( C x. A ) mod ( C x. M ) ) = ( ( C x. B ) mod ( C x. M ) ) <-> ( C x. M ) || ( ( C x. A ) - ( C x. B ) ) ) )
40	33, 36, 38, 39	syl3anc 1169	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) /\ M e. NN ) -> ( ( ( C x. A ) mod ( C x. M ) ) = ( ( C x. B ) mod ( C x. M ) ) <-> ( C x. M ) || ( ( C x. A ) - ( C x. B ) ) ) )
41	24, 31, 40	3bitr4d 218	1 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. NN ) /\ M e. NN ) -> ( ( A mod M ) = ( B mod M ) <-> ( ( C x. A ) mod ( C x. M ) ) = ( ( C x. B ) mod ( C x. M ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   /\ w3a 919   = wceq 1284   e. wcel 1433   =/= wne 2245   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532   CCcc 6979   0cc0 6981   x. cmul 6986   - cmin 7279   NNcn 8039   ZZcz 8351   mod cmo 9324   || cdvds 10195

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094  ax-arch 7095

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-q 8705  df-rp 8735  df-fl 9274  df-mod 9325  df-dvds 10196

This theorem is referenced by: (None)