Theorem nnne0 8067

Description: A positive integer is nonzero. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnne0	|- ( A e. NN -> A =/= 0 )

Proof of Theorem nnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nnn 8066	. . 3 |- -. 0 e. NN
2		eleq1 2141	. . 3 |- ( A = 0 -> ( A e. NN <-> 0 e. NN ) )
3	1, 2	mtbiri 632	. 2 |- ( A = 0 -> -. A e. NN )
4	3	necon2ai 2299	1 |- ( A e. NN -> A =/= 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1284   e. wcel 1433   =/= wne 2245   0cc0 6981   NNcn 8039

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1re 7070  ax-addrcl 7073  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rab 2357  df-v 2603  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-xp 4369  df-cnv 4371  df-iota 4887  df-fv 4930  df-ov 5535  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-inn 8040

This theorem is referenced by:  nnne0d  8083  divfnzn  8706  qreccl  8727  fzo1fzo0n0  9192  expinnval  9479  expnegap0  9484  dvdsval3  10199  nndivdvds  10201  modmulconst  10227  dvdsdivcl  10250  divalg2  10326  ndvdssub  10330  nndvdslegcd  10357  divgcdz  10363  divgcdnn  10366  gcdzeq  10411  eucalgf  10437  eucalginv  10438  lcmgcdlem  10459  qredeu  10479  cncongr1  10485  cncongr2  10486