Theorem nqnq0m 6645

Description: Multiplication of positive fractions is equal with .Q or ·_Q0. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqnq0m	|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A .Q B ) = ( A ·Q0 B ) )

Proof of Theorem nqnq0m

Dummy variables z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqpi 6568	. . . 4 |- ( A e. Q. -> E. z E. w ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) )
2		nqpi 6568	. . . 4 |- ( B e. Q. -> E. v E. u ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) )
3	1, 2	anim12i 331	. . 3 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( E. z E. w ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) /\ E. v E. u ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) ) )
4		ee4anv 1850	. . 3 |- ( E. z E. w E. v E. u ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) ) <-> ( E. z E. w ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) /\ E. v E. u ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) ) )
5	3, 4	sylibr 132	. 2 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> E. z E. w E. v E. u ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) ) )
6		oveq12 5541	. . . . . . 7 |- ( ( A = [ <. z , w >. ] ~Q /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) -> ( A .Q B ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q .Q [ <. v , u >. ] ~Q ) )
7		mulpiord 6507	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. N. /\ v e. N. ) -> ( z .N v ) = ( z .o v ) )
8	7	ad2ant2r 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( z .N v ) = ( z .o v ) )
9		mulpiord 6507	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w e. N. /\ u e. N. ) -> ( w .N u ) = ( w .o u ) )
10	9	ad2ant2l 491	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( w .N u ) = ( w .o u ) )
11	8, 10	opeq12d 3578	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> <. ( z .N v ) , ( w .N u ) >. = <. ( z .o v ) , ( w .o u ) >. )
12	11	eceq1d 6165	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> [ <. ( z .N v ) , ( w .N u ) >. ] ~Q0 = [ <. ( z .o v ) , ( w .o u ) >. ] ~Q0 )
13		mulpipqqs 6563	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q .Q [ <. v , u >. ] ~Q ) = [ <. ( z .N v ) , ( w .N u ) >. ] ~Q )
14		mulclpi 6518	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. N. /\ v e. N. ) -> ( z .N v ) e. N. )
15	14	ad2ant2r 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( z .N v ) e. N. )
16		mulclpi 6518	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w e. N. /\ u e. N. ) -> ( w .N u ) e. N. )
17	16	ad2ant2l 491	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( w .N u ) e. N. )
18		nqnq0pi 6628	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z .N v ) e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) -> [ <. ( z .N v ) , ( w .N u ) >. ] ~Q0 = [ <. ( z .N v ) , ( w .N u ) >. ] ~Q )
19	15, 17, 18	syl2anc 403	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> [ <. ( z .N v ) , ( w .N u ) >. ] ~Q0 = [ <. ( z .N v ) , ( w .N u ) >. ] ~Q )
20	13, 19	eqtr4d 2116	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q .Q [ <. v , u >. ] ~Q ) = [ <. ( z .N v ) , ( w .N u ) >. ] ~Q0 )
21		pinn 6499	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. N. -> z e. om )
22	21	anim1i 333	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( z e. om /\ w e. N. ) )
23		pinn 6499	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. N. -> v e. om )
24	23	anim1i 333	. . . . . . . . 9 |- ( ( v e. N. /\ u e. N. ) -> ( v e. om /\ u e. N. ) )
25		mulnnnq0 6640	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = [ <. ( z .o v ) , ( w .o u ) >. ] ~Q0 )
26	22, 24, 25	syl2an 283	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = [ <. ( z .o v ) , ( w .o u ) >. ] ~Q0 )
27	12, 20, 26	3eqtr4d 2123	. . . . . . 7 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q .Q [ <. v , u >. ] ~Q ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) )
28	6, 27	sylan9eqr 2135	. . . . . 6 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( A = [ <. z , w >. ] ~Q /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) ) -> ( A .Q B ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) )
29		nqnq0pi 6628	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> [ <. z , w >. ] ~Q0 = [ <. z , w >. ] ~Q )
30	29	adantr 270	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> [ <. z , w >. ] ~Q0 = [ <. z , w >. ] ~Q )
31	30	eqeq2d 2092	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( A = [ <. z , w >. ] ~Q0 <-> A = [ <. z , w >. ] ~Q ) )
32		nqnq0pi 6628	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( v e. N. /\ u e. N. ) -> [ <. v , u >. ] ~Q0 = [ <. v , u >. ] ~Q )
33	32	adantl 271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> [ <. v , u >. ] ~Q0 = [ <. v , u >. ] ~Q )
34	33	eqeq2d 2092	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( B = [ <. v , u >. ] ~Q0 <-> B = [ <. v , u >. ] ~Q ) )
35	31, 34	anbi12d 456	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( A = [ <. z , w >. ] ~Q0 /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q0 ) <-> ( A = [ <. z , w >. ] ~Q /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) ) )
36	35	pm5.32i 441	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( A = [ <. z , w >. ] ~Q0 /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) <-> ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( A = [ <. z , w >. ] ~Q /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) ) )
37		oveq12 5541	. . . . . . . 8 |- ( ( A = [ <. z , w >. ] ~Q0 /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q0 ) -> ( A ·Q0 B ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) )
38	37	adantl 271	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( A = [ <. z , w >. ] ~Q0 /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) -> ( A ·Q0 B ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) )
39	36, 38	sylbir 133	. . . . . 6 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( A = [ <. z , w >. ] ~Q /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) ) -> ( A ·Q0 B ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) )
40	28, 39	eqtr4d 2116	. . . . 5 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( A = [ <. z , w >. ] ~Q /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) ) -> ( A .Q B ) = ( A ·Q0 B ) )
41	40	an4s 552	. . . 4 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) ) -> ( A .Q B ) = ( A ·Q0 B ) )
42	41	exlimivv 1817	. . 3 |- ( E. v E. u ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) ) -> ( A .Q B ) = ( A ·Q0 B ) )
43	42	exlimivv 1817	. 2 |- ( E. z E. w E. v E. u ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ B = [ <. v , u >. ] ~Q ) ) -> ( A .Q B ) = ( A ·Q0 B ) )
44	5, 43	syl 14	1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A .Q B ) = ( A ·Q0 B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1284   E.wex 1421   e. wcel 1433   <.cop 3401   omcom 4331  (class class class)co 5532   .o comu 6022   [cec 6127   N.cnpi 6462   .N cmi 6464   ~Q ceq 6469   Q.cnq 6470   .Q cmq 6473   ~_Q0 ceq0 6476   ·_Q0 cmq0 6480

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-irdg 5980  df-oadd 6028  df-omul 6029  df-er 6129  df-ec 6131  df-qs 6135  df-ni 6494  df-mi 6496  df-mpq 6535  df-enq 6537  df-nqqs 6538  df-mqqs 6540  df-enq0 6614  df-nq0 6615  df-mq0 6618

This theorem is referenced by:  prarloclemlo  6684  prarloclemcalc  6692