ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prarloclemlo Unicode version
Theorem prarloclemlo 6684
Description: Contracting the lower side of an interval which straddles a Dedekind cut. Lemma for prarloc 6693. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prarloclemlo |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. L -> ( ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) ) )
Distinct variable groups:   y, A   y, L   y, P   y, U   y, X
Proof of Theorem prarloclemlo
Dummy variables f g h z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnaass 6087 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f e. om /\ g e. om /\ h e. om ) -> ( ( f +o g ) +o h ) = ( f +o ( g +o h ) ) )
21adantl 271 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) /\ ( f e. om /\ g e. om /\ h e. om ) ) -> ( ( f +o g ) +o h ) = ( f +o ( g +o h ) ) )
3 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> y e. om )
4 1onn 6116 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 1o e. om
5 nnacl 6082 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. om /\ 1o e. om ) -> ( y +o 1o ) e. om )
63, 4, 5sylancl 404 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( y +o 1o ) e. om )
7 2onn 6117 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 2o e. om
87a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> 2o e. om )
9 simpll 495 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> X e. om )
102, 6, 8, 9caovassd 5680 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) = ( ( y +o 1o ) +o ( 2o +o X ) ) )
114a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> 1o e. om )
12 nnacom 6086 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f e. om /\ g e. om ) -> ( f +o g ) = ( g +o f ) )
1312adantl 271 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> ( f +o g ) = ( g +o f ) )
14 nnacl 6082 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f e. om /\ g e. om ) -> ( f +o g ) e. om )
1514adantl 271 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> ( f +o g ) e. om )
163, 8, 11, 13, 2, 9, 15caov4d 5705 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( y +o 2o ) +o ( 1o +o X ) ) = ( ( y +o 1o ) +o ( 2o +o X ) ) )
1713, 11, 9caovcomd 5677 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( 1o +o X ) = ( X +o 1o ) )
18 nnon 4350 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X e. om -> X e. On )
19 oa1suc 6070 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X e. On -> ( X +o 1o ) = suc X )
209, 18, 193syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( X +o 1o ) = suc X )
2117, 20eqtrd 2113 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( 1o +o X ) = suc X )
2221oveq2d 5548 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( y +o 2o ) +o ( 1o +o X ) ) = ( ( y +o 2o ) +o suc X ) )
2310, 16, 223eqtr2rd 2120 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( y +o 2o ) +o suc X ) = ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) )
2423opeq1d 3576 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> <. ( ( y +o 2o ) +o suc X ) , 1o >. = <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. )
2524eceq1d 6165 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc X ) , 1o >. ] ~Q = [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q )
2625oveq1d 5547 . . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) = ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) )
2726oveq2d 5548 . . . . . . 7 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) = ( A +Q ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) )
2827eleq1d 2147 . . . . . 6 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U <-> ( A +Q ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
2928biimpd 142 . . . . 5 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U -> ( A +Q ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
30 simplr1 980 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> <. L , U >. e. P. )
31 simplr2 981 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> A e. L )
32 elprnql 6671 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L ) -> A e. Q. )
3330, 31, 32syl2anc 403 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> A e. Q. )
34 1pi 6505 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 1o e. N.
35 nnppipi 6533 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. om /\ 1o e. N. ) -> ( y +o 1o ) e. N. )
363, 34, 35sylancl 404 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( y +o 1o ) e. N. )
37 opelxpi 4394 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y +o 1o ) e. N. /\ 1o e. N. ) -> <. ( y +o 1o ) , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
3834, 37mpan2 415 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y +o 1o ) e. N. -> <. ( y +o 1o ) , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
39 enqex 6550 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ~Q e. _V
4039ecelqsi 6183 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. ( y +o 1o ) , 1o >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
41 df-nqqs 6538 . . . . . . . . . . . . . 14 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
4240, 41syl6eleqr 2172 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. ( y +o 1o ) , 1o >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q e. Q. )
4336, 38, 423syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q e. Q. )
44 simplr3 982 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> P e. Q. )
45 mulclnq 6566 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q e. Q. /\ P e. Q. ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) e. Q. )
4643, 44, 45syl2anc 403 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) e. Q. )
47 nqnq0a 6644 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. Q. /\ ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) e. Q. ) -> ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) = ( A +Q0 ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) )
4833, 46, 47syl2anc 403 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) = ( A +Q0 ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) )
49 nqnq0m 6645 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q e. Q. /\ P e. Q. ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) = ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q ·Q0 P ) )
5043, 44, 49syl2anc 403 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) = ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q ·Q0 P ) )
51 nqnq0pi 6628 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y +o 1o ) e. N. /\ 1o e. N. ) -> [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 = [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q )
5236, 34, 51sylancl 404 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 = [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q )
5352oveq1d 5547 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) = ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q ·Q0 P ) )
5450, 53eqtr4d 2116 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) = ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) )
5554oveq2d 5548 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( A +Q0 ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) = ( A +Q0 ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) )
5648, 55eqtrd 2113 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) = ( A +Q0 ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) )
5756eleq1d 2147 . . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. L <-> ( A +Q0 ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L ) )
5857anbi1d 452 . . . . . . 7 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> ( ( A +Q0 ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
59 opeq1 3570 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( y +o 1o ) -> <. z , 1o >. = <. ( y +o 1o ) , 1o >. )
6059eceq1d 6165 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( y +o 1o ) -> [ <. z , 1o >. ] ~Q0 = [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 )
6160oveq1d 5547 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( y +o 1o ) -> ( [ <. z , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) = ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) )
6261oveq2d 5548 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( y +o 1o ) -> ( A +Q0 ( [ <. z , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) = ( A +Q0 ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) )
6362eleq1d 2147 . . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( y +o 1o ) -> ( ( A +Q0 ( [ <. z , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L <-> ( A +Q0 ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L ) )
64 oveq1 5539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( y +o 1o ) -> ( z +o 2o ) = ( ( y +o 1o ) +o 2o ) )
6564oveq1d 5547 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( y +o 1o ) -> ( ( z +o 2o ) +o X ) = ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) )
6665opeq1d 3576 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( y +o 1o ) -> <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. = <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. )
6766eceq1d 6165 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( y +o 1o ) -> [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q = [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q )
6867oveq1d 5547 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( y +o 1o ) -> ( [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) = ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) )
6968oveq2d 5548 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( y +o 1o ) -> ( A +Q ( [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) = ( A +Q ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) )
7069eleq1d 2147 . . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( y +o 1o ) -> ( ( A +Q ( [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U <-> ( A +Q ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
7163, 70anbi12d 456 . . . . . . . . . 10 |- ( z = ( y +o 1o ) -> ( ( ( A +Q0 ( [ <. z , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> ( ( A +Q0 ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
7271rspcev 2701 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( y +o 1o ) e. om /\ ( ( A +Q0 ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) -> E. z e. om ( ( A +Q0 ( [ <. z , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
7372ex 113 . . . . . . . 8 |- ( ( y +o 1o ) e. om -> ( ( ( A +Q0 ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. z e. om ( ( A +Q0 ( [ <. z , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
746, 73syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( ( A +Q0 ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. z e. om ( ( A +Q0 ( [ <. z , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
7558, 74sylbid 148 . . . . . 6 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. z e. om ( ( A +Q0 ( [ <. z , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
76 opeq1 3570 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z = y -> <. z , 1o >. = <. y , 1o >. )
7776eceq1d 6165 . . . . . . . . . . 11 |- ( z = y -> [ <. z , 1o >. ] ~Q0 = [ <. y , 1o >. ] ~Q0 )
7877oveq1d 5547 . . . . . . . . . 10 |- ( z = y -> ( [ <. z , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) = ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) )
7978oveq2d 5548 . . . . . . . . 9 |- ( z = y -> ( A +Q0 ( [ <. z , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) = ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) )
8079eleq1d 2147 . . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( ( A +Q0 ( [ <. z , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L <-> ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L ) )
81 oveq1 5539 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = y -> ( z +o 2o ) = ( y +o 2o ) )
8281oveq1d 5547 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = y -> ( ( z +o 2o ) +o X ) = ( ( y +o 2o ) +o X ) )
8382opeq1d 3576 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z = y -> <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. = <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. )
8483eceq1d 6165 . . . . . . . . . . 11 |- ( z = y -> [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q = [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q )
8584oveq1d 5547 . . . . . . . . . 10 |- ( z = y -> ( [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) = ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) )
8685oveq2d 5548 . . . . . . . . 9 |- ( z = y -> ( A +Q ( [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) = ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) )
8786eleq1d 2147 . . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( ( A +Q ( [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U <-> ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
8880, 87anbi12d 456 . . . . . . 7 |- ( z = y -> ( ( ( A +Q0 ( [ <. z , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
8988cbvrexv 2578 . . . . . 6 |- ( E. z e. om ( ( A +Q0 ( [ <. z , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
9075, 89syl6ib 159 . . . . 5 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
9129, 90sylan2d 288 . . . 4 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
9291expdimp 255 . . 3 |- ( ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) /\ ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. L ) -> ( ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U -> E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
9392adantld 272 . 2 |- ( ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) /\ ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. L ) -> ( ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
9493ex 113 1 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. L -> ( ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   /\ w3a 919   = wceq 1284   e. wcel 1433   E.wrex 2349   <.cop 3401   Oncon0 4118   suc csuc 4120   omcom 4331   X. cxp 4361  (class class class)co 5532   1oc1o 6017   2oc2o 6018   +o coa 6021   [cec 6127   /.cqs 6128   N.cnpi 6462   ~Q ceq 6469   Q.cnq 6470   +Q cplq 6472   .Q cmq 6473   ~Q0 ceq0 6476   +Q0 cplq0 6479   ·Q0 cmq0 6480   P.cnp 6481
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-irdg 5980  df-1o 6024  df-2o 6025  df-oadd 6028  df-omul 6029  df-er 6129  df-ec 6131  df-qs 6135  df-ni 6494  df-pli 6495  df-mi 6496  df-plpq 6534  df-mpq 6535  df-enq 6537  df-nqqs 6538  df-plqqs 6539  df-mqqs 6540  df-enq0 6614  df-nq0 6615  df-plq0 6617  df-mq0 6618  df-inp 6656
This theorem is referenced by:  prarloclem3step  6686
  Copyright terms: Public domain W3C validator