Theorem nqprm 6732

Description: A cut produced from a rational is inhabited. Lemma for nqprlu 6737. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqprm	|- ( A e. Q. -> ( E. q e. Q. q e. { x | x <Q A } /\ E. r e. Q. r e. { x | A <Q x } ) )

Distinct variable group:   x, A, r, q

Proof of Theorem nqprm

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsmallnqq 6602	. . 3 |- ( A e. Q. -> E. q e. Q. q <Q A )
2		vex 2604	. . . . 5 |- q e. _V
3		breq1 3788	. . . . 5 |- ( x = q -> ( x <Q A <-> q <Q A ) )
4	2, 3	elab 2738	. . . 4 |- ( q e. { x | x <Q A } <-> q <Q A )
5	4	rexbii 2373	. . 3 |- ( E. q e. Q. q e. { x | x <Q A } <-> E. q e. Q. q <Q A )
6	1, 5	sylibr 132	. 2 |- ( A e. Q. -> E. q e. Q. q e. { x | x <Q A } )
7		archnqq 6607	. . . . 5 |- ( A e. Q. -> E. n e. N. A <Q [ <. n , 1o >. ] ~Q )
8		df-rex 2354	. . . . 5 |- ( E. n e. N. A <Q [ <. n , 1o >. ] ~Q <-> E. n ( n e. N. /\ A <Q [ <. n , 1o >. ] ~Q ) )
9	7, 8	sylib 120	. . . 4 |- ( A e. Q. -> E. n ( n e. N. /\ A <Q [ <. n , 1o >. ] ~Q ) )
10		1pi 6505	. . . . . . . 8 |- 1o e. N.
11		opelxpi 4394	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. N. /\ 1o e. N. ) -> <. n , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
12		enqex 6550	. . . . . . . . . 10 |- ~Q e. _V
13	12	ecelqsi 6183	. . . . . . . . 9 |- ( <. n , 1o >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. n , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
14	11, 13	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. N. /\ 1o e. N. ) -> [ <. n , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
15	10, 14	mpan2 415	. . . . . . 7 |- ( n e. N. -> [ <. n , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
16		df-nqqs 6538	. . . . . . 7 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
17	15, 16	syl6eleqr 2172	. . . . . 6 |- ( n e. N. -> [ <. n , 1o >. ] ~Q e. Q. )
18		breq2 3789	. . . . . . 7 |- ( r = [ <. n , 1o >. ] ~Q -> ( A <Q r <-> A <Q [ <. n , 1o >. ] ~Q ) )
19	18	rspcev 2701	. . . . . 6 |- ( ( [ <. n , 1o >. ] ~Q e. Q. /\ A <Q [ <. n , 1o >. ] ~Q ) -> E. r e. Q. A <Q r )
20	17, 19	sylan 277	. . . . 5 |- ( ( n e. N. /\ A <Q [ <. n , 1o >. ] ~Q ) -> E. r e. Q. A <Q r )
21	20	exlimiv 1529	. . . 4 |- ( E. n ( n e. N. /\ A <Q [ <. n , 1o >. ] ~Q ) -> E. r e. Q. A <Q r )
22	9, 21	syl 14	. . 3 |- ( A e. Q. -> E. r e. Q. A <Q r )
23		vex 2604	. . . . 5 |- r e. _V
24		breq2 3789	. . . . 5 |- ( x = r -> ( A <Q x <-> A <Q r ) )
25	23, 24	elab 2738	. . . 4 |- ( r e. { x | A <Q x } <-> A <Q r )
26	25	rexbii 2373	. . 3 |- ( E. r e. Q. r e. { x | A <Q x } <-> E. r e. Q. A <Q r )
27	22, 26	sylibr 132	. 2 |- ( A e. Q. -> E. r e. Q. r e. { x | A <Q x } )
28	6, 27	jca 300	1 |- ( A e. Q. -> ( E. q e. Q. q e. { x | x <Q A } /\ E. r e. Q. r e. { x | A <Q x } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   E.wex 1421   e. wcel 1433   {cab 2067   E.wrex 2349   <.cop 3401   class class class wbr 3785   X. cxp 4361   1oc1o 6017   [cec 6127   /.cqs 6128   N.cnpi 6462   ~Q ceq 6469   Q.cnq 6470   <Q cltq 6475

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-eprel 4044  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-irdg 5980  df-1o 6024  df-oadd 6028  df-omul 6029  df-er 6129  df-ec 6131  df-qs 6135  df-ni 6494  df-pli 6495  df-mi 6496  df-lti 6497  df-plpq 6534  df-mpq 6535  df-enq 6537  df-nqqs 6538  df-plqqs 6539  df-mqqs 6540  df-1nqqs 6541  df-rq 6542  df-ltnqqs 6543

This theorem is referenced by:  nqprxx  6736