Theorem opabid 4012

Description: The law of concretion. Special case of Theorem 9.5 of [Quine] p. 61. (Contributed by NM, 14-Apr-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
opabid	|- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | ph } <-> ph )

Proof of Theorem opabid

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2604	. . 3 |- x e. _V
2		vex 2604	. . 3 |- y e. _V
3	1, 2	opex 3984	. 2 |- <. x , y >. e. _V
4		copsexg 3999	. . 3 |- ( z = <. x , y >. -> ( ph <-> E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) ) )
5	4	bicomd 139	. 2 |- ( z = <. x , y >. -> ( E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) <-> ph ) )
6		df-opab 3840	. 2 |- { <. x , y >. | ph } = { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) }
7	3, 5, 6	elab2 2741	1 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | ph } <-> ph )

Syntax hints:   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1284   E.wex 1421   e. wcel 1433   <.cop 3401   {copab 3838

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-opab 3840

This theorem is referenced by:  opelopabsb  4015  ssopab2b  4031  dmopab  4564  rnopab  4599  funopab  4955  funco  4960  fvmptss2  5268  f1ompt  5341  ovid  5637  enssdom  6265