Theorem prltlu 6677

Description: An element of a lower cut is less than an element of the corresponding upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prltlu	|- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L /\ C e. U ) -> B <Q C )

Proof of Theorem prltlu

Dummy variables q r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 940	. . 3 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L /\ C e. U ) -> C e. U )
2		elprnqu 6672	. . . . . 6 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ C e. U ) -> C e. Q. )
3	2	3adant2 957	. . . . 5 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L /\ C e. U ) -> C e. Q. )
4		elinp 6664	. . . . . . 7 |- ( <. L , U >. e. P. <-> ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. q e. Q. q e. L /\ E. r e. Q. r e. U ) ) /\ ( ( A. q e. Q. ( q e. L <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. L ) ) /\ A. r e. Q. ( r e. U <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. U ) ) ) /\ A. q e. Q. -. ( q e. L /\ q e. U ) /\ A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) ) ) )
5		simpr2 945	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. q e. Q. q e. L /\ E. r e. Q. r e. U ) ) /\ ( ( A. q e. Q. ( q e. L <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. L ) ) /\ A. r e. Q. ( r e. U <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. U ) ) ) /\ A. q e. Q. -. ( q e. L /\ q e. U ) /\ A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) ) ) -> A. q e. Q. -. ( q e. L /\ q e. U ) )
6	4, 5	sylbi 119	. . . . . 6 |- ( <. L , U >. e. P. -> A. q e. Q. -. ( q e. L /\ q e. U ) )
7	6	3ad2ant1 959	. . . . 5 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L /\ C e. U ) -> A. q e. Q. -. ( q e. L /\ q e. U ) )
8		eleq1 2141	. . . . . . . 8 |- ( q = C -> ( q e. L <-> C e. L ) )
9		eleq1 2141	. . . . . . . 8 |- ( q = C -> ( q e. U <-> C e. U ) )
10	8, 9	anbi12d 456	. . . . . . 7 |- ( q = C -> ( ( q e. L /\ q e. U ) <-> ( C e. L /\ C e. U ) ) )
11	10	notbid 624	. . . . . 6 |- ( q = C -> ( -. ( q e. L /\ q e. U ) <-> -. ( C e. L /\ C e. U ) ) )
12	11	rspcv 2697	. . . . 5 |- ( C e. Q. -> ( A. q e. Q. -. ( q e. L /\ q e. U ) -> -. ( C e. L /\ C e. U ) ) )
13	3, 7, 12	sylc 61	. . . 4 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L /\ C e. U ) -> -. ( C e. L /\ C e. U ) )
14		ancom 262	. . . . . 6 |- ( ( C e. L /\ C e. U ) <-> ( C e. U /\ C e. L ) )
15	14	notbii 626	. . . . 5 |- ( -. ( C e. L /\ C e. U ) <-> -. ( C e. U /\ C e. L ) )
16		imnan 656	. . . . 5 |- ( ( C e. U -> -. C e. L ) <-> -. ( C e. U /\ C e. L ) )
17	15, 16	bitr4i 185	. . . 4 |- ( -. ( C e. L /\ C e. U ) <-> ( C e. U -> -. C e. L ) )
18	13, 17	sylib 120	. . 3 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L /\ C e. U ) -> ( C e. U -> -. C e. L ) )
19	1, 18	mpd 13	. 2 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L /\ C e. U ) -> -. C e. L )
20		3simpa 935	. . 3 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L /\ C e. U ) -> ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) )
21		prubl 6676	. . 3 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) /\ C e. Q. ) -> ( -. C e. L -> B <Q C ) )
22	20, 3, 21	syl2anc 403	. 2 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L /\ C e. U ) -> ( -. C e. L -> B <Q C ) )
23	19, 22	mpd 13	1 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L /\ C e. U ) -> B <Q C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ wo 661   /\ w3a 919   = wceq 1284   e. wcel 1433   A.wral 2348   E.wrex 2349   C_ wss 2973   <.cop 3401   class class class wbr 3785   Q.cnq 6470   <Q cltq 6475   P.cnp 6481

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-eprel 4044  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-irdg 5980  df-oadd 6028  df-omul 6029  df-er 6129  df-ec 6131  df-qs 6135  df-ni 6494  df-mi 6496  df-lti 6497  df-enq 6537  df-nqqs 6538  df-ltnqqs 6543  df-inp 6656

This theorem is referenced by:  genpdisj  6713  prmuloc  6756  ltprordil  6779  ltpopr  6785  ltexprlemopu  6793  ltexprlemdisj  6796  ltexprlemfl  6799  ltexprlemfu  6801  ltexprlemru  6802  recexprlemdisj  6820  recexprlemss1l  6825  recexprlemss1u  6826