Theorem qreccl 8727

Description: Closure of reciprocal of rationals. (Contributed by NM, 3-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
qreccl	|- ( ( A e. QQ /\ A =/= 0 ) -> ( 1 / A ) e. QQ )

Proof of Theorem qreccl

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 7069	. . . . . 6 |- 1 e. CC
2		1ap0 7690	. . . . . 6 |- 1 # 0
3	1, 2	div0api 7834	. . . . 5 |- ( 0 / 1 ) = 0
4		0z 8362	. . . . . 6 |- 0 e. ZZ
5		1nn 8050	. . . . . 6 |- 1 e. NN
6		znq 8709	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 1 e. NN ) -> ( 0 / 1 ) e. QQ )
7	4, 5, 6	mp2an 416	. . . . 5 |- ( 0 / 1 ) e. QQ
8	3, 7	eqeltrri 2152	. . . 4 |- 0 e. QQ
9		qapne 8724	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ 0 e. QQ ) -> ( A # 0 <-> A =/= 0 ) )
10	8, 9	mpan2 415	. . 3 |- ( A e. QQ -> ( A # 0 <-> A =/= 0 ) )
11	10	biimpar 291	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ A =/= 0 ) -> A # 0 )
12		elq 8707	. . . 4 |- ( A e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
13		nnne0 8067	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN -> y =/= 0 )
14	13	ancli 316	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> ( y e. NN /\ y =/= 0 ) )
15		nnz 8370	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. NN -> y e. ZZ )
16		zapne 8422	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( y # 0 <-> y =/= 0 ) )
17	15, 4, 16	sylancl 404	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. NN -> ( y # 0 <-> y =/= 0 ) )
18	17	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( y # 0 <-> y =/= 0 ) )
19	18	pm5.32i 441	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y # 0 ) <-> ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) )
20	19	anbi1i 445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y # 0 ) /\ A = ( x / y ) ) <-> ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) )
21		breq1 3788	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A = ( x / y ) -> ( A # 0 <-> ( x / y ) # 0 ) )
22		zcn 8356	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
23		nncn 8047	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. NN -> y e. CC )
24	22, 23	anim12i 331	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( x e. CC /\ y e. CC ) )
25		divap0b 7771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC /\ y # 0 ) -> ( x # 0 <-> ( x / y ) # 0 ) )
26	25	3expa 1138	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ y # 0 ) -> ( x # 0 <-> ( x / y ) # 0 ) )
27	24, 26	sylan 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y # 0 ) -> ( x # 0 <-> ( x / y ) # 0 ) )
28	27	bicomd 139	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y # 0 ) -> ( ( x / y ) # 0 <-> x # 0 ) )
29	21, 28	sylan9bbr 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y # 0 ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( A # 0 <-> x # 0 ) )
30	20, 29	sylbir 133	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( A # 0 <-> x # 0 ) )
31		simplll 499	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) -> x e. ZZ )
32		zapne 8422	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( x # 0 <-> x =/= 0 ) )
33	31, 4, 32	sylancl 404	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( x # 0 <-> x =/= 0 ) )
34	30, 33	bitrd 186	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( A # 0 <-> x =/= 0 ) )
35		zmulcl 8404	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( x x. y ) e. ZZ )
36	15, 35	sylan2 280	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( x x. y ) e. ZZ )
37	36	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) -> ( x x. y ) e. ZZ )
38		msqznn 8447	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ZZ /\ x =/= 0 ) -> ( x x. x ) e. NN )
39	38	adantlr 460	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) -> ( x x. x ) e. NN )
40	37, 39	jca 300	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) -> ( ( x x. y ) e. ZZ /\ ( x x. x ) e. NN ) )
41	40	adantlr 460	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ x =/= 0 ) -> ( ( x x. y ) e. ZZ /\ ( x x. x ) e. NN ) )
42	41	adantlr 460	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) /\ x =/= 0 ) -> ( ( x x. y ) e. ZZ /\ ( x x. x ) e. NN ) )
43	20	anbi1i 445	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y # 0 ) /\ A = ( x / y ) ) /\ x # 0 ) <-> ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) /\ x # 0 ) )
44	33	pm5.32i 441	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) /\ x # 0 ) <-> ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) /\ x =/= 0 ) )
45	43, 44	bitri 182	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y # 0 ) /\ A = ( x / y ) ) /\ x # 0 ) <-> ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) /\ x =/= 0 ) )
46		oveq2 5540	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A = ( x / y ) -> ( 1 / A ) = ( 1 / ( x / y ) ) )
47		dividap 7789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. CC /\ x # 0 ) -> ( x / x ) = 1 )
48	47	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( x e. CC /\ x # 0 ) /\ ( y e. CC /\ y # 0 ) ) -> ( x / x ) = 1 )
49	48	oveq1d 5547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( x e. CC /\ x # 0 ) /\ ( y e. CC /\ y # 0 ) ) -> ( ( x / x ) / ( x / y ) ) = ( 1 / ( x / y ) ) )
50		simpll 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( x e. CC /\ x # 0 ) /\ ( y e. CC /\ y # 0 ) ) -> x e. CC )
51		simpl 107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( x e. CC /\ x # 0 ) /\ ( y e. CC /\ y # 0 ) ) -> ( x e. CC /\ x # 0 ) )
52		simpr 108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( x e. CC /\ x # 0 ) /\ ( y e. CC /\ y # 0 ) ) -> ( y e. CC /\ y # 0 ) )
53		divdivdivap 7801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( x e. CC /\ ( x e. CC /\ x # 0 ) ) /\ ( ( x e. CC /\ x # 0 ) /\ ( y e. CC /\ y # 0 ) ) ) -> ( ( x / x ) / ( x / y ) ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) )
54	50, 51, 51, 52, 53	syl22anc 1170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( x e. CC /\ x # 0 ) /\ ( y e. CC /\ y # 0 ) ) -> ( ( x / x ) / ( x / y ) ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) )
55	49, 54	eqtr3d 2115	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x e. CC /\ x # 0 ) /\ ( y e. CC /\ y # 0 ) ) -> ( 1 / ( x / y ) ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) )
56	55	an4s 552	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ ( x # 0 /\ y # 0 ) ) -> ( 1 / ( x / y ) ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) )
57	24, 56	sylan 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( x # 0 /\ y # 0 ) ) -> ( 1 / ( x / y ) ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) )
58	57	anass1rs 535	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y # 0 ) /\ x # 0 ) -> ( 1 / ( x / y ) ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) )
59	46, 58	sylan9eqr 2135	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y # 0 ) /\ x # 0 ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( 1 / A ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) )
60	59	an32s 532	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y # 0 ) /\ A = ( x / y ) ) /\ x # 0 ) -> ( 1 / A ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) )
61	45, 60	sylbir 133	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) /\ x =/= 0 ) -> ( 1 / A ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) )
62	42, 61	jca 300	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) /\ x =/= 0 ) -> ( ( ( x x. y ) e. ZZ /\ ( x x. x ) e. NN ) /\ ( 1 / A ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) ) )
63	62	ex 113	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( x =/= 0 -> ( ( ( x x. y ) e. ZZ /\ ( x x. x ) e. NN ) /\ ( 1 / A ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) ) ) )
64	34, 63	sylbid 148	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) /\ A = ( x / y ) ) -> ( A # 0 -> ( ( ( x x. y ) e. ZZ /\ ( x x. x ) e. NN ) /\ ( 1 / A ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) ) ) )
65	64	ex 113	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ y =/= 0 ) -> ( A = ( x / y ) -> ( A # 0 -> ( ( ( x x. y ) e. ZZ /\ ( x x. x ) e. NN ) /\ ( 1 / A ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) ) ) ) )
66	65	anasss 391	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ZZ /\ ( y e. NN /\ y =/= 0 ) ) -> ( A = ( x / y ) -> ( A # 0 -> ( ( ( x x. y ) e. ZZ /\ ( x x. x ) e. NN ) /\ ( 1 / A ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) ) ) ) )
67	14, 66	sylan2 280	. . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( A = ( x / y ) -> ( A # 0 -> ( ( ( x x. y ) e. ZZ /\ ( x x. x ) e. NN ) /\ ( 1 / A ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) ) ) ) )
68		rspceov 5567	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x x. y ) e. ZZ /\ ( x x. x ) e. NN /\ ( 1 / A ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) ) -> E. z e. ZZ E. w e. NN ( 1 / A ) = ( z / w ) )
69	68	3expa 1138	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x x. y ) e. ZZ /\ ( x x. x ) e. NN ) /\ ( 1 / A ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) ) -> E. z e. ZZ E. w e. NN ( 1 / A ) = ( z / w ) )
70		elq 8707	. . . . . . 7 |- ( ( 1 / A ) e. QQ <-> E. z e. ZZ E. w e. NN ( 1 / A ) = ( z / w ) )
71	69, 70	sylibr 132	. . . . . 6 |- ( ( ( ( x x. y ) e. ZZ /\ ( x x. x ) e. NN ) /\ ( 1 / A ) = ( ( x x. y ) / ( x x. x ) ) ) -> ( 1 / A ) e. QQ )
72	67, 71	syl8 70	. . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( A = ( x / y ) -> ( A # 0 -> ( 1 / A ) e. QQ ) ) )
73	72	rexlimivv 2482	. . . 4 |- ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) -> ( A # 0 -> ( 1 / A ) e. QQ ) )
74	12, 73	sylbi 119	. . 3 |- ( A e. QQ -> ( A # 0 -> ( 1 / A ) e. QQ ) )
75	74	imp 122	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ A # 0 ) -> ( 1 / A ) e. QQ )
76	11, 75	syldan 276	1 |- ( ( A e. QQ /\ A =/= 0 ) -> ( 1 / A ) e. QQ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1284   e. wcel 1433   =/= wne 2245   E.wrex 2349   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532   CCcc 6979   0cc0 6981   1c1 6982   x. cmul 6986   # cap 7681   / cdiv 7760   NNcn 8039   ZZcz 8351   QQcq 8704

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-q 8705

This theorem is referenced by:  qdivcl  8728  qexpclz  9497