Theorem resqrexlemgt0 9906

Description: Lemma for resqrex 9912. A limit is nonnegative. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) , RR+ )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )
resqrexlemgt0.rr	|- ( ph -> L e. RR )
resqrexlemgt0.lim	|- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemgt0	|- ( ph -> 0 <_ L )

Distinct variable groups:   y, A, z   e, F   e, L, i, j   ph, i, j   z, j, ph   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( e)   A( e, i, j)   F( y, z, i, j)   L( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemgt0.rr	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> L e. RR )
2	1	adantr 270	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> L e. RR )
3	2	renegcld 7484	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> -u L e. RR )
4	1	lt0neg1d 7616	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( L < 0 <-> 0 < -u L ) )
5	4	biimpa 290	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> 0 < -u L )
6	3, 5	elrpd 8771	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> -u L e. RR+ )
7		resqrexlemgt0.lim	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) )
8	7	adantr 270	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) )
9		oveq2 5540	. . . . . . . . . 10 |- ( e = -u L -> ( L + e ) = ( L + -u L ) )
10	9	breq2d 3797	. . . . . . . . 9 |- ( e = -u L -> ( ( F ` i ) < ( L + e ) <-> ( F ` i ) < ( L + -u L ) ) )
11		oveq2 5540	. . . . . . . . . 10 |- ( e = -u L -> ( ( F ` i ) + e ) = ( ( F ` i ) + -u L ) )
12	11	breq2d 3797	. . . . . . . . 9 |- ( e = -u L -> ( L < ( ( F ` i ) + e ) <-> L < ( ( F ` i ) + -u L ) ) )
13	10, 12	anbi12d 456	. . . . . . . 8 |- ( e = -u L -> ( ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) <-> ( ( F ` i ) < ( L + -u L ) /\ L < ( ( F ` i ) + -u L ) ) ) )
14	13	rexralbidv 2392	. . . . . . 7 |- ( e = -u L -> ( E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) <-> E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + -u L ) /\ L < ( ( F ` i ) + -u L ) ) ) )
15	14	rspcv 2697	. . . . . 6 |- ( -u L e. RR+ -> ( A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) -> E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + -u L ) /\ L < ( ( F ` i ) + -u L ) ) ) )
16	6, 8, 15	sylc 61	. . . . 5 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + -u L ) /\ L < ( ( F ` i ) + -u L ) ) )
17		simpl 107	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` i ) < ( L + -u L ) /\ L < ( ( F ` i ) + -u L ) ) -> ( F ` i ) < ( L + -u L ) )
18	2	recnd 7147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> L e. CC )
19	18	negidd 7409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> ( L + -u L ) = 0 )
20	19	breq2d 3797	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> ( ( F ` i ) < ( L + -u L ) <-> ( F ` i ) < 0 ) )
21	17, 20	syl5ib 152	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> ( ( ( F ` i ) < ( L + -u L ) /\ L < ( ( F ` i ) + -u L ) ) -> ( F ` i ) < 0 ) )
22	21	ralimdv 2430	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> ( A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + -u L ) /\ L < ( ( F ` i ) + -u L ) ) -> A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` i ) < 0 ) )
23	22	reximdv 2462	. . . . 5 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> ( E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + -u L ) /\ L < ( ( F ` i ) + -u L ) ) -> E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` i ) < 0 ) )
24	16, 23	mpd 13	. . . 4 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` i ) < 0 )
25		0red 7120	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> 0 e. RR )
26		eluznn 8687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j e. NN /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) -> i e. NN )
27		resqrexlemex.seq	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) , RR+ )
28		resqrexlemex.a	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A e. RR )
29		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 0 <_ A )
30	27, 28, 29	resqrexlemf 9893	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> F : NN --> RR+ )
31	30	ffvelrnda 5323	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( F ` i ) e. RR+ )
32	26, 31	sylan2 280	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( F ` i ) e. RR+ )
33	32	rpred 8773	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( F ` i ) e. RR )
34	32	rpgt0d 8776	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> 0 < ( F ` i ) )
35	25, 33, 34	ltnsymd 7229	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> -. ( F ` i ) < 0 )
36	35	pm2.21d 581	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( F ` i ) < 0 -> F. ) )
37	36	anassrs 392	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( F ` i ) < 0 -> F. ) )
38	37	ralimdva 2429	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` i ) < 0 -> A. i e. ( ZZ>= ` j ) F. ) )
39		nnz 8370	. . . . . . . . 9 |- ( j e. NN -> j e. ZZ )
40		uzid 8633	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ZZ -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
41		elex2 2615	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( ZZ>= ` j ) -> E. z z e. ( ZZ>= ` j ) )
42		r19.3rmv 3332	. . . . . . . . . 10 |- ( E. z z e. ( ZZ>= ` j ) -> ( F. <-> A. i e. ( ZZ>= ` j ) F. ) )
43	40, 41, 42	3syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ZZ -> ( F. <-> A. i e. ( ZZ>= ` j ) F. ) )
44	39, 43	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN -> ( F. <-> A. i e. ( ZZ>= ` j ) F. ) )
45	44	adantl 271	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( F. <-> A. i e. ( ZZ>= ` j ) F. ) )
46	38, 45	sylibrd 167	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` i ) < 0 -> F. ) )
47	46	rexlimdva 2477	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` i ) < 0 -> F. ) )
48	47	adantr 270	. . . 4 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> ( E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` i ) < 0 -> F. ) )
49	24, 48	mpd 13	. . 3 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> F. )
50	49	inegd 1303	. 2 |- ( ph -> -. L < 0 )
51		0re 7119	. . 3 |- 0 e. RR
52		lenlt 7187	. . 3 |- ( ( 0 e. RR /\ L e. RR ) -> ( 0 <_ L <-> -. L < 0 ) )
53	51, 1, 52	sylancr 405	. 2 |- ( ph -> ( 0 <_ L <-> -. L < 0 ) )
54	50, 53	mpbird 165	1 |- ( ph -> 0 <_ L )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1284   F. wfal 1289   E.wex 1421   e. wcel 1433   A.wral 2348   E.wrex 2349   {csn 3398   class class class wbr 3785   X. cxp 4361   ` cfv 4922  (class class class)co 5532   |-> cmpt2 5534   RRcr 6980   0cc0 6981   1c1 6982   + caddc 6984   < clt 7153   <_ cle 7154   -ucneg 7280   / cdiv 7760   NNcn 8039   2c2 8089   ZZcz 8351   ZZ>=cuz 8619   RR+crp 8734   seqcseq 9431

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-2 8098  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-rp 8735  df-iseq 9432

This theorem is referenced by:  resqrexlemglsq  9908  resqrexlemex  9911