Theorem un0mulcl 8322

Description: If 𝑆 is closed under multiplication, then so is 𝑆 ∪ {0}. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
un0addcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
un0addcl.2	⊢ 𝑇 = (𝑆 ∪ {0})
un0mulcl.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ 𝑆)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
un0mulcl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇)

Proof of Theorem un0mulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		un0addcl.2	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝑆 ∪ {0})
2	1	eleq2i 2145	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑇 ↔ 𝑁 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
3		elun 3113	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ (𝑁 ∈ 𝑆 ∨ 𝑁 ∈ {0}))
4	2, 3	bitri 182	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑇 ↔ (𝑁 ∈ 𝑆 ∨ 𝑁 ∈ {0}))
5	1	eleq2i 2145	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 ↔ 𝑀 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
6		elun 3113	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ (𝑀 ∈ 𝑆 ∨ 𝑀 ∈ {0}))
7	5, 6	bitri 182	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 ↔ (𝑀 ∈ 𝑆 ∨ 𝑀 ∈ {0}))
8		ssun1 3135	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 ⊆ (𝑆 ∪ {0})
9	8, 1	sseqtr4i 3032	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝑇
10		un0mulcl.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ 𝑆)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑆)
11	9, 10	sseldi 2997	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ 𝑆)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇)
12	11	expr 367	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) → (𝑁 ∈ 𝑆 → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇))
13		un0addcl.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
14	13	sselda 2999	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑆) → 𝑁 ∈ ℂ)
15	14	mul02d 7496	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑆) → (0 · 𝑁) = 0)
16		ssun2 3136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {0} ⊆ (𝑆 ∪ {0})
17	16, 1	sseqtr4i 3032	. . . . . . . . . 10 ⊢ {0} ⊆ 𝑇
18		c0ex 7113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ V
19	18	snss 3516	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ 𝑇 ↔ {0} ⊆ 𝑇)
20	17, 19	mpbir 144	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ 𝑇
21	15, 20	syl6eqel 2169	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑆) → (0 · 𝑁) ∈ 𝑇)
22		elsni 3416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ {0} → 𝑀 = 0)
23	22	oveq1d 5547	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ {0} → (𝑀 · 𝑁) = (0 · 𝑁))
24	23	eleq1d 2147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ {0} → ((𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇 ↔ (0 · 𝑁) ∈ 𝑇))
25	21, 24	syl5ibrcom 155	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑆) → (𝑀 ∈ {0} → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇))
26	25	impancom 256	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ {0}) → (𝑁 ∈ 𝑆 → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇))
27	12, 26	jaodan 743	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ 𝑆 ∨ 𝑀 ∈ {0})) → (𝑁 ∈ 𝑆 → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇))
28	7, 27	sylan2b 281	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ 𝑇) → (𝑁 ∈ 𝑆 → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇))
29		0cnd 7112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
30	29	snssd 3530	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {0} ⊆ ℂ)
31	13, 30	unssd 3148	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
32	1, 31	syl5eqss 3043	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ ℂ)
33	32	sselda 2999	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ 𝑇) → 𝑀 ∈ ℂ)
34	33	mul01d 7497	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ 𝑇) → (𝑀 · 0) = 0)
35	34, 20	syl6eqel 2169	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ 𝑇) → (𝑀 · 0) ∈ 𝑇)
36		elsni 3416	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ {0} → 𝑁 = 0)
37	36	oveq2d 5548	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ {0} → (𝑀 · 𝑁) = (𝑀 · 0))
38	37	eleq1d 2147	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ {0} → ((𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇 ↔ (𝑀 · 0) ∈ 𝑇))
39	35, 38	syl5ibrcom 155	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ 𝑇) → (𝑁 ∈ {0} → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇))
40	28, 39	jaod 669	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ 𝑇) → ((𝑁 ∈ 𝑆 ∨ 𝑁 ∈ {0}) → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇))
41	4, 40	syl5bi 150	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ 𝑇) → (𝑁 ∈ 𝑇 → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇))
42	41	impr 371	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ∨ wo 661   = wceq 1284   ∈ wcel 1433   ∪ cun 2971   ⊆ wss 2973  {csn 3398  (class class class)co 5532  ℂcc 6979  0cc0 6981   · cmul 6986

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-setind 4280  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-sub 7281

This theorem is referenced by:  nn0mulcl  8324