Theorem isprm3 10500

Description: The predicate "is a prime number". A prime number is an integer greater than or equal to 2 with no divisors strictly between 1 and itself. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
isprm3	|- ( P e. Prime <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. z || P ) )

Distinct variable group:   z, P

Proof of Theorem isprm3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm2 10499	. 2 |- ( P e. Prime <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. NN ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
2		dvdszrcl 10200	. . . . . . . . . . 11 |- ( z || P -> ( z e. ZZ /\ P e. ZZ ) )
3	2	simpld 110	. . . . . . . . . 10 |- ( z || P -> z e. ZZ )
4		1zzd 8378	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) -> 1 e. ZZ )
5		zdceq 8423	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID z = 1 )
6	3, 4, 5	syl2an2 558	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) -> DECID z = 1 )
7	2	simprd 112	. . . . . . . . . . 11 |- ( z || P -> P e. ZZ )
8	7	adantl 271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) -> P e. ZZ )
9		zdceq 8423	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> DECID z = P )
10	3, 8, 9	syl2an2 558	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) -> DECID z = P )
11		dcor 876	. . . . . . . . 9 |- (DECID z = 1 -> (DECID z = P -> DECID ( z = 1 \/ z = P ) ) )
12	6, 10, 11	sylc 61	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) -> DECID ( z = 1 \/ z = P ) )
13		imandc 819	. . . . . . . 8 |- (DECID ( z = 1 \/ z = P ) -> ( ( z e. NN -> ( z = 1 \/ z = P ) ) <-> -. ( z e. NN /\ -. ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
14	12, 13	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) -> ( ( z e. NN -> ( z = 1 \/ z = P ) ) <-> -. ( z e. NN /\ -. ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
15		eluz2nn 8657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> P e. NN )
16		nnz 8370	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. NN -> z e. ZZ )
17		dvdsle 10244	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( z || P -> z <_ P ) )
18	16, 17	sylan 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. NN /\ P e. NN ) -> ( z || P -> z <_ P ) )
19		nnge1 8062	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. NN -> 1 <_ z )
20	19	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. NN /\ P e. NN ) -> 1 <_ z )
21	18, 20	jctild 309	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. NN /\ P e. NN ) -> ( z || P -> ( 1 <_ z /\ z <_ P ) ) )
22	15, 21	sylan2 280	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. NN /\ P e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( z || P -> ( 1 <_ z /\ z <_ P ) ) )
23		nnz 8370	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( P e. NN -> P e. ZZ )
24		zre 8355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z e. ZZ -> z e. RR )
25		1re 7118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 1 e. RR
26		leltap 7724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( 1 e. RR /\ z e. RR /\ 1 <_ z ) -> ( 1 < z <-> z # 1 ) )
27	25, 26	mp3an1 1255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( z e. RR /\ 1 <_ z ) -> ( 1 < z <-> z # 1 ) )
28	24, 27	sylan 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( z e. ZZ /\ 1 <_ z ) -> ( 1 < z <-> z # 1 ) )
29		1z 8377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 1 e. ZZ
30		zapne 8422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( z e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( z # 1 <-> z =/= 1 ) )
31	29, 30	mpan2 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z e. ZZ -> ( z # 1 <-> z =/= 1 ) )
32	31	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( z e. ZZ /\ 1 <_ z ) -> ( z # 1 <-> z =/= 1 ) )
33	28, 32	bitrd 186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( z e. ZZ /\ 1 <_ z ) -> ( 1 < z <-> z =/= 1 ) )
34	33	3adant2 957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ /\ 1 <_ z ) -> ( 1 < z <-> z =/= 1 ) )
35	34	3expia 1140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( 1 <_ z -> ( 1 < z <-> z =/= 1 ) ) )
36		zre 8355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( P e. ZZ -> P e. RR )
37		leltap 7724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( z e. RR /\ P e. RR /\ z <_ P ) -> ( z < P <-> P # z ) )
38	24, 37	syl3an1 1202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. RR /\ z <_ P ) -> ( z < P <-> P # z ) )
39	36, 38	syl3an2 1203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ /\ z <_ P ) -> ( z < P <-> P # z ) )
40		zapne 8422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( P e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( P # z <-> P =/= z ) )
41	40	ancoms 264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( P # z <-> P =/= z ) )
42	41	3adant3 958	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ /\ z <_ P ) -> ( P # z <-> P =/= z ) )
43	39, 42	bitrd 186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ /\ z <_ P ) -> ( z < P <-> P =/= z ) )
44	43	3expia 1140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( z <_ P -> ( z < P <-> P =/= z ) ) )
45	35, 44	anim12d 328	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( ( 1 <_ z /\ z <_ P ) -> ( ( 1 < z <-> z =/= 1 ) /\ ( z < P <-> P =/= z ) ) ) )
46	23, 45	sylan2 280	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( ( 1 <_ z /\ z <_ P ) -> ( ( 1 < z <-> z =/= 1 ) /\ ( z < P <-> P =/= z ) ) ) )
47		pm4.38 569	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( 1 < z <-> z =/= 1 ) /\ ( z < P <-> P =/= z ) ) -> ( ( 1 < z /\ z < P ) <-> ( z =/= 1 /\ P =/= z ) ) )
48		df-ne 2246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z =/= 1 <-> -. z = 1 )
49		nesym 2290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( P =/= z <-> -. z = P )
50	48, 49	anbi12i 447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( z =/= 1 /\ P =/= z ) <-> ( -. z = 1 /\ -. z = P ) )
51		ioran 701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -. ( z = 1 \/ z = P ) <-> ( -. z = 1 /\ -. z = P ) )
52	50, 51	bitr4i 185	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z =/= 1 /\ P =/= z ) <-> -. ( z = 1 \/ z = P ) )
53	47, 52	syl6bb 194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( 1 < z <-> z =/= 1 ) /\ ( z < P <-> P =/= z ) ) -> ( ( 1 < z /\ z < P ) <-> -. ( z = 1 \/ z = P ) ) )
54	46, 53	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( ( 1 <_ z /\ z <_ P ) -> ( ( 1 < z /\ z < P ) <-> -. ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
55	16, 15, 54	syl2an 283	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. NN /\ P e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( 1 <_ z /\ z <_ P ) -> ( ( 1 < z /\ z < P ) <-> -. ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
56	22, 55	syld 44	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. NN /\ P e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( z || P -> ( ( 1 < z /\ z < P ) <-> -. ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
57	56	imp 122	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z e. NN /\ P e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ z || P ) -> ( ( 1 < z /\ z < P ) <-> -. ( z = 1 \/ z = P ) ) )
58		eluzelz 8628	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> P e. ZZ )
59		zltp1le 8405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 1 e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( 1 < z <-> ( 1 + 1 ) <_ z ) )
60	29, 59	mpan 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. ZZ -> ( 1 < z <-> ( 1 + 1 ) <_ z ) )
61		df-2 8098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 = ( 1 + 1 )
62	61	breq1i 3792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 2 <_ z <-> ( 1 + 1 ) <_ z )
63	60, 62	syl6bbr 196	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. ZZ -> ( 1 < z <-> 2 <_ z ) )
64	63	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( 1 < z <-> 2 <_ z ) )
65		zltlem1 8408	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( z < P <-> z <_ ( P - 1 ) ) )
66	64, 65	anbi12d 456	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( ( 1 < z /\ z < P ) <-> ( 2 <_ z /\ z <_ ( P - 1 ) ) ) )
67		peano2zm 8389	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( P e. ZZ -> ( P - 1 ) e. ZZ )
68		2z 8379	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 e. ZZ
69		elfz 9035	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z e. ZZ /\ 2 e. ZZ /\ ( P - 1 ) e. ZZ ) -> ( z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) <-> ( 2 <_ z /\ z <_ ( P - 1 ) ) ) )
70	68, 69	mp3an2 1256	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. ZZ /\ ( P - 1 ) e. ZZ ) -> ( z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) <-> ( 2 <_ z /\ z <_ ( P - 1 ) ) ) )
71	67, 70	sylan2 280	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) <-> ( 2 <_ z /\ z <_ ( P - 1 ) ) ) )
72	66, 71	bitr4d 189	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( ( 1 < z /\ z < P ) <-> z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) )
73	16, 58, 72	syl2an 283	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. NN /\ P e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( 1 < z /\ z < P ) <-> z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) )
74	73	adantr 270	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z e. NN /\ P e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ z || P ) -> ( ( 1 < z /\ z < P ) <-> z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) )
75	57, 74	bitr3d 188	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. NN /\ P e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ z || P ) -> ( -. ( z = 1 \/ z = P ) <-> z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) )
76	75	anasss 391	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. NN /\ ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) ) -> ( -. ( z = 1 \/ z = P ) <-> z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) )
77	76	expcom 114	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) -> ( z e. NN -> ( -. ( z = 1 \/ z = P ) <-> z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) ) )
78	77	pm5.32d 437	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) -> ( ( z e. NN /\ -. ( z = 1 \/ z = P ) ) <-> ( z e. NN /\ z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) ) )
79		fzssuz 9083	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 ... ( P - 1 ) ) C_ ( ZZ>= ` 2 )
80		2eluzge1 8664	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. ( ZZ>= ` 1 )
81		uzss 8639	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ZZ>= ` 2 ) C_ ( ZZ>= ` 1 ) )
82	80, 81	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ZZ>= ` 2 ) C_ ( ZZ>= ` 1 )
83	79, 82	sstri 3008	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 ... ( P - 1 ) ) C_ ( ZZ>= ` 1 )
84		nnuz 8654	. . . . . . . . . . . 12 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
85	83, 84	sseqtr4i 3032	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 ... ( P - 1 ) ) C_ NN
86	85	sseli 2995	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -> z e. NN )
87	86	pm4.71ri 384	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) <-> ( z e. NN /\ z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) )
88	78, 87	syl6bbr 196	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) -> ( ( z e. NN /\ -. ( z = 1 \/ z = P ) ) <-> z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) )
89	88	notbid 624	. . . . . . 7 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) -> ( -. ( z e. NN /\ -. ( z = 1 \/ z = P ) ) <-> -. z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) )
90	14, 89	bitrd 186	. . . . . 6 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) -> ( ( z e. NN -> ( z = 1 \/ z = P ) ) <-> -. z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) )
91	90	pm5.74da 431	. . . . 5 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( z || P -> ( z e. NN -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) <-> ( z || P -> -. z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) ) )
92		bi2.04 246	. . . . 5 |- ( ( z || P -> ( z e. NN -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) <-> ( z e. NN -> ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
93		con2b 625	. . . . 5 |- ( ( z || P -> -. z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) <-> ( z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -> -. z || P ) )
94	91, 92, 93	3bitr3g 220	. . . 4 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( z e. NN -> ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) <-> ( z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -> -. z || P ) ) )
95	94	ralbidv2 2370	. . 3 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A. z e. NN ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) <-> A. z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. z || P ) )
96	95	pm5.32i 441	. 2 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. NN ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. z || P ) )
97	1, 96	bitri 182	1 |- ( P e. Prime <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. z || P ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ wo 661  DECID wdc 775   /\ w3a 919   = wceq 1284   e. wcel 1433   =/= wne 2245   A.wral 2348   C_ wss 2973   class class class wbr 3785   ` cfv 4922  (class class class)co 5532   RRcr 6980   1c1 6982   + caddc 6984   < clt 7153   <_ cle 7154   - cmin 7279   # cap 7681   NNcn 8039   2c2 8089   ZZcz 8351   ZZ>=cuz 8619   ...cfz 9029   || cdvds 10195   Primecprime 10489

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094  ax-arch 7095  ax-caucvg 7096

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-if 3352  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-1o 6024  df-2o 6025  df-er 6129  df-en 6245  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-2 8098  df-3 8099  df-4 8100  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-q 8705  df-rp 8735  df-fz 9030  df-iseq 9432  df-iexp 9476  df-cj 9729  df-re 9730  df-im 9731  df-rsqrt 9884  df-abs 9885  df-dvds 10196  df-prm 10490

This theorem is referenced by:  prmind2  10502  2prm  10509  3prm  10510