Theorem 0lt1 7236

Description: 0 is less than 1. Theorem I.21 of [Apostol] p. 20. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 17-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
0lt1	⊢ 0 < 1

Proof of Theorem 0lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-0lt1 7082	. 2 ⊢ 0 <ℝ 1
2		0re 7119	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		1re 7118	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		ltxrlt 7178	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 < 1 ↔ 0 <ℝ 1))
5	2, 3, 4	mp2an 416	. 2 ⊢ (0 < 1 ↔ 0 <ℝ 1)
6	1, 5	mpbir 144	1 ⊢ 0 < 1

Syntax hints:   ↔ wb 103   ∈ wcel 1433   class class class wbr 3785  ℝcr 6980  0cc0 6981  1c1 6982   <_ℝ cltrr 6985   < clt 7153

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1re 7070  ax-addrcl 7073  ax-0lt1 7082  ax-rnegex 7085

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rab 2357  df-v 2603  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-xp 4369  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-ltxr 7158

This theorem is referenced by:  ine0  7498  0le1  7585  inelr  7684  1ap0  7690  eqneg  7820  ltp1  7922  ltm1  7924  recgt0  7928  mulgt1  7941  reclt1  7974  recgt1  7975  recgt1i  7976  recp1lt1  7977  recreclt  7978  nnge1  8062  nngt0  8064  0nnn  8066  nnrecgt0  8076  0ne1  8106  2pos  8130  3pos  8133  4pos  8136  5pos  8139  6pos  8140  7pos  8141  8pos  8142  9pos  8143  neg1lt0  8147  halflt1  8248  nn0p1gt0  8317  elnnnn0c  8333  elnnz1  8374  recnz  8440  1rp  8738  divlt1lt  8801  divle1le  8802  ledivge1le  8803  nnledivrp  8837  fz10  9065  fzpreddisj  9088  elfz1b  9107  modqfrac  9339  expgt1  9514  ltexp2a  9528  leexp2a  9529  expnbnd  9596  expnlbnd  9597  expnlbnd2  9598  expcanlem  9643  expcan  9644  bcn1  9685  resqrexlem1arp  9891  mulcn2  10151  nnoddm1d2  10310  dvdsnprmd  10507