Theorem nngt0 8064

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 8046	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nnge1 8062	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3		0lt1 7236	. . 3 ⊢ 0 < 1
4		0re 7119	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 7118	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		ltletr 7200	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
7	4, 5, 6	mp3an12 1258	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
8	3, 7	mpani 420	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
9	1, 2, 8	sylc 61	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ∈ wcel 1433   class class class wbr 3785  ℝcr 6980  0cc0 6981  1c1 6982   < clt 7153   ≤ cle 7154  ℕcn 8039

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1re 7070  ax-addrcl 7073  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rab 2357  df-v 2603  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-xp 4369  df-cnv 4371  df-iota 4887  df-fv 4930  df-ov 5535  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-inn 8040

This theorem is referenced by:  nnap0  8068  nngt0i  8069  nn2ge  8071  nn1gt1  8072  nnsub  8077  nngt0d  8082  nnrecl  8286  nn0ge0  8313  0mnnnnn0  8320  elnnnn0b  8332  elnnz  8361  elnn0z  8364  ztri3or0  8393  nnm1ge0  8433  gtndiv  8442  nnrp  8743  nnledivrp  8837  fzo1fzo0n0  9192  ubmelfzo  9209  adddivflid  9294  flltdivnn0lt  9306  intfracq  9322  zmodcl  9346  zmodfz  9348  zmodid2  9354  m1modnnsub1  9372  expinnval  9479  nnlesq  9578  facdiv  9665  faclbnd  9668  bc0k  9683  dvdsval3  10199  nndivdvds  10201  moddvds  10204  evennn2n  10283  nnoddm1d2  10310  divalglemnn  10318  ndvdssub  10330  ndvdsadd  10331  modgcd  10382  sqgcd  10418  lcmgcdlem  10459  qredeu  10479