Theorem inelr 7684

Description: The imaginary unit i is not a real number. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
inelr	⊢ ¬ i ∈ ℝ

Proof of Theorem inelr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ine0 7498	. . 3 ⊢ i ≠ 0
2	1	neii 2247	. 2 ⊢ ¬ i = 0
3		0lt1 7236	. . . . . 6 ⊢ 0 < 1
4		0re 7119	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 7118	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
6	4, 5	ltnsymi 7210	. . . . . 6 ⊢ (0 < 1 → ¬ 1 < 0)
7	3, 6	ax-mp 7	. . . . 5 ⊢ ¬ 1 < 0
8		ixi 7683	. . . . . . . 8 ⊢ (i · i) = -1
9	5	renegcli 7370	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℝ
10	8, 9	eqeltri 2151	. . . . . . 7 ⊢ (i · i) ∈ ℝ
11	4, 10, 5	ltadd1i 7603	. . . . . 6 ⊢ (0 < (i · i) ↔ (0 + 1) < ((i · i) + 1))
12		ax-1cn 7069	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
13	12	addid2i 7251	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 1) = 1
14		ax-i2m1 7081	. . . . . . 7 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
15	13, 14	breq12i 3794	. . . . . 6 ⊢ ((0 + 1) < ((i · i) + 1) ↔ 1 < 0)
16	11, 15	bitri 182	. . . . 5 ⊢ (0 < (i · i) ↔ 1 < 0)
17	7, 16	mtbir 628	. . . 4 ⊢ ¬ 0 < (i · i)
18		mullt0 7584	. . . . . 6 ⊢ (((i ∈ ℝ ∧ i < 0) ∧ (i ∈ ℝ ∧ i < 0)) → 0 < (i · i))
19	18	anidms 389	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ i < 0) → 0 < (i · i))
20	19	ex 113	. . . 4 ⊢ (i ∈ ℝ → (i < 0 → 0 < (i · i)))
21	17, 20	mtoi 622	. . 3 ⊢ (i ∈ ℝ → ¬ i < 0)
22		mulgt0 7186	. . . . . 6 ⊢ (((i ∈ ℝ ∧ 0 < i) ∧ (i ∈ ℝ ∧ 0 < i)) → 0 < (i · i))
23	22	anidms 389	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ 0 < i) → 0 < (i · i))
24	23	ex 113	. . . 4 ⊢ (i ∈ ℝ → (0 < i → 0 < (i · i)))
25	17, 24	mtoi 622	. . 3 ⊢ (i ∈ ℝ → ¬ 0 < i)
26		lttri3 7191	. . . 4 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (i = 0 ↔ (¬ i < 0 ∧ ¬ 0 < i)))
27	4, 26	mpan2 415	. . 3 ⊢ (i ∈ ℝ → (i = 0 ↔ (¬ i < 0 ∧ ¬ 0 < i)))
28	21, 25, 27	mpbir2and 885	. 2 ⊢ (i ∈ ℝ → i = 0)
29	2, 28	mto 620	1 ⊢ ¬ i ∈ ℝ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 102   ↔ wb 103   = wceq 1284   ∈ wcel 1433   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532  ℝcr 6980  0cc0 6981  1c1 6982  ici 6983   + caddc 6984   · cmul 6986   < clt 7153  -cneg 7280

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-ltxr 7158  df-sub 7281  df-neg 7282

This theorem is referenced by:  rimul  7685