Theorem expcanlem 9643

Description: Lemma for expcan 9644. Proving the order in one direction. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcanlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
expcanlem.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
expcanlem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
expcanlem.gt1	⊢ (𝜑 → 1 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
expcanlem	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑀) ≤ (𝐴↑𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem expcanlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcanlem.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		expcanlem.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		expcanlem.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		expcanlem.gt1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝐴)
5		ltexp2a 9528	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 𝑁 < 𝑀)) → (𝐴↑𝑁) < (𝐴↑𝑀))
6	5	expr 367	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → (𝑁 < 𝑀 → (𝐴↑𝑁) < (𝐴↑𝑀)))
7	1, 2, 3, 4, 6	syl31anc 1172	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 < 𝑀 → (𝐴↑𝑁) < (𝐴↑𝑀)))
8	7	con3d 593	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝐴↑𝑁) < (𝐴↑𝑀) → ¬ 𝑁 < 𝑀))
9		0red 7120	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
10		1red 7134	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
11		0lt1 7236	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 1
12	11	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
13	9, 10, 1, 12, 4	lttrd 7235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
14	1, 13	gt0ap0d 7728	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)
15	1, 14, 3	reexpclzapd 9630	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑀) ∈ ℝ)
16	1, 14, 2	reexpclzapd 9630	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
17	15, 16	lenltd 7227	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑀) ≤ (𝐴↑𝑁) ↔ ¬ (𝐴↑𝑁) < (𝐴↑𝑀)))
18	3	zred 8469	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
19	2	zred 8469	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
20	18, 19	lenltd 7227	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
21	8, 17, 20	3imtr4d 201	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑀) ≤ (𝐴↑𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 919   ∈ wcel 1433   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532  ℝcr 6980  0cc0 6981  1c1 6982   < clt 7153   ≤ cle 7154  ℤcz 8351  ↑cexp 9475

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-if 3352  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-rp 8735  df-iseq 9432  df-iexp 9476

This theorem is referenced by:  expcan  9644