Theorem 0lt1sr 6942

Description: 0 is less than 1 for signed reals. (Contributed by NM, 26-Mar-1996.)

Assertion

Ref	Expression
0lt1sr	⊢ 0R <R 1R

Proof of Theorem 0lt1sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pr 6744	. . . . . 6 ⊢ 1P ∈ P
2		addclpr 6727	. . . . . 6 ⊢ ((1P ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (1P +P 1P) ∈ P)
3	1, 1, 2	mp2an 416	. . . . 5 ⊢ (1P +P 1P) ∈ P
4		ltaddpr 6787	. . . . 5 ⊢ (((1P +P 1P) ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 1P))
5	3, 1, 4	mp2an 416	. . . 4 ⊢ (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 1P)
6		addcomprg 6768	. . . . 5 ⊢ ((1P ∈ P ∧ (1P +P 1P) ∈ P) → (1P +P (1P +P 1P)) = ((1P +P 1P) +P 1P))
7	1, 3, 6	mp2an 416	. . . 4 ⊢ (1P +P (1P +P 1P)) = ((1P +P 1P) +P 1P)
8	5, 7	breqtrri 3810	. . 3 ⊢ (1P +P 1P)<P (1P +P (1P +P 1P))
9		ltsrprg 6924	. . . 4 ⊢ (((1P ∈ P ∧ 1P ∈ P) ∧ ((1P +P 1P) ∈ P ∧ 1P ∈ P)) → ([⟨1P, 1P⟩] ~R <R [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R ↔ (1P +P 1P)<P (1P +P (1P +P 1P))))
10	1, 1, 3, 1, 9	mp4an 417	. . 3 ⊢ ([⟨1P, 1P⟩] ~R <R [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R ↔ (1P +P 1P)<P (1P +P (1P +P 1P)))
11	8, 10	mpbir 144	. 2 ⊢ [⟨1P, 1P⟩] ~R <R [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R
12		df-0r 6908	. 2 ⊢ 0R = [⟨1P, 1P⟩] ~R
13		df-1r 6909	. 2 ⊢ 1R = [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R
14	11, 12, 13	3brtr4i 3813	1 ⊢ 0R <R 1R

Syntax hints:   ↔ wb 103   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  ⟨cop 3401   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532  [cec 6127  Pcnp 6481  1_Pc1p 6482   +_P cpp 6483  <_P cltp 6485   ~_R cer 6486  0_Rc0r 6488  1_Rc1r 6489   <_R cltr 6493

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-eprel 4044  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-irdg 5980  df-1o 6024  df-2o 6025  df-oadd 6028  df-omul 6029  df-er 6129  df-ec 6131  df-qs 6135  df-ni 6494  df-pli 6495  df-mi 6496  df-lti 6497  df-plpq 6534  df-mpq 6535  df-enq 6537  df-nqqs 6538  df-plqqs 6539  df-mqqs 6540  df-1nqqs 6541  df-rq 6542  df-ltnqqs 6543  df-enq0 6614  df-nq0 6615  df-0nq0 6616  df-plq0 6617  df-mq0 6618  df-inp 6656  df-i1p 6657  df-iplp 6658  df-iltp 6660  df-enr 6903  df-nr 6904  df-ltr 6907  df-0r 6908  df-1r 6909

This theorem is referenced by:  1ne0sr  6943  ltadd1sr  6953  caucvgsrlemcl  6965  caucvgsrlemfv  6967  ax0lt1  7042