Theorem 8th4div3 8250

Description: An eighth of four thirds is a sixth. (Contributed by Paul Chapman, 24-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
8th4div3	⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)

Proof of Theorem 8th4div3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 7069	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		8re 8124	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℝ
3	2	recni 7131	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℂ
4		4cn 8117	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
5		3cn 8114	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
6		8pos 8142	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
7	2, 6	gt0ap0ii 7727	. . . 4 ⊢ 8 # 0
8		3re 8113	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
9		3pos 8133	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
10	8, 9	gt0ap0ii 7727	. . . 4 ⊢ 3 # 0
11	1, 3, 4, 5, 7, 10	divmuldivapi 7860	. . 3 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((1 · 4) / (8 · 3))
12	1, 4	mulcomi 7125	. . . 4 ⊢ (1 · 4) = (4 · 1)
13		2cn 8110	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
14	4, 13, 5	mul32i 7255	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · 2) · 3) = ((4 · 3) · 2)
15		4t2e8 8190	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
16	15	oveq1i 5542	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · 2) · 3) = (8 · 3)
17	14, 16	eqtr3i 2103	. . . . . 6 ⊢ ((4 · 3) · 2) = (8 · 3)
18	4, 5, 13	mulassi 7128	. . . . . 6 ⊢ ((4 · 3) · 2) = (4 · (3 · 2))
19	17, 18	eqtr3i 2103	. . . . 5 ⊢ (8 · 3) = (4 · (3 · 2))
20		3t2e6 8188	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) = 6
21	20	oveq2i 5543	. . . . 5 ⊢ (4 · (3 · 2)) = (4 · 6)
22	19, 21	eqtri 2101	. . . 4 ⊢ (8 · 3) = (4 · 6)
23	12, 22	oveq12i 5544	. . 3 ⊢ ((1 · 4) / (8 · 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
24	11, 23	eqtri 2101	. 2 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
25		6re 8120	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
26	25	recni 7131	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℂ
27		6pos 8140	. . . 4 ⊢ 0 < 6
28	25, 27	gt0ap0ii 7727	. . 3 ⊢ 6 # 0
29		4re 8116	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℝ
30		4pos 8136	. . . 4 ⊢ 0 < 4
31	29, 30	gt0ap0ii 7727	. . 3 ⊢ 4 # 0
32		divcanap5 7802	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 # 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
33	1, 32	mp3an1 1255	. . 3 ⊢ (((6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 # 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
34	26, 28, 4, 31, 33	mp4an 417	. 2 ⊢ ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6)
35	24, 34	eqtri 2101	1 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)

Syntax hints:   ∧ wa 102   = wceq 1284   ∈ wcel 1433   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532  ℂcc 6979  0cc0 6981  1c1 6982   · cmul 6986   # cap 7681   / cdiv 7760  2c2 8089  3c3 8090  4c4 8091  6c6 8093  8c8 8095

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-2 8098  df-3 8099  df-4 8100  df-5 8101  df-6 8102  df-7 8103  df-8 8104

This theorem is referenced by: (None)