Theorem dfioo2 8997

Description: Alternate definition of the set of open intervals of extended reals. (Contributed by NM, 1-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfioo2	⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ ∣ (𝑥 < 𝑤 ∧ 𝑤 < 𝑦)})

Distinct variable group:   𝑥,𝑤,𝑦

Proof of Theorem dfioo2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioof 8994	. . 3 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
2		ffn 5066	. . 3 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
3		fnovim 5629	. . 3 ⊢ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,)𝑦)))
4	1, 2, 3	mp2b 8	. 2 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,)𝑦))
5		iooval2 8938	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥(,)𝑦) = {𝑤 ∈ ℝ ∣ (𝑥 < 𝑤 ∧ 𝑤 < 𝑦)})
6	5	mpt2eq3ia 5590	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,)𝑦)) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ ∣ (𝑥 < 𝑤 ∧ 𝑤 < 𝑦)})
7	4, 6	eqtri 2101	1 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ ∣ (𝑥 < 𝑤 ∧ 𝑤 < 𝑦)})

Syntax hints:   ∧ wa 102   = wceq 1284  {crab 2352  𝒫 cpw 3382   class class class wbr 3785   × cxp 4361   Fn wfn 4917  ⟶wf 4918  (class class class)co 5532   ↦ cmpt2 5534  ℝcr 6980  ℝ^*cxr 7152   < clt 7153  (,)cioo 8911

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-ioo 8915

This theorem is referenced by: (None)